Si la suma de las probabilidades de los eventos es igual a la probabilidad de su unión, ¿eso implica que los eventos son disjuntos?

Axiomáticamente, la probabilidad es una función que asigna un número real a cada evento si cumple con los tres supuestos fundamentales (supuestos de Kolmogorov):$P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Mi pregunta es, en el último supuesto, ¿se supone lo contrario? Si muestro que las probabilidades para un cierto número de eventos se pueden agregar para obtener la probabilidad de su unión, ¿puedo usar directamente este axioma para afirmar que los eventos son disjuntos?

No, pero puede concluir que la probabilidad de cualquier evento compartido es cero.

Disjoint significa que para cualquier . No puede concluir eso, pero puede concluir que para todo . Cualquier elemento compartido debe tener probabilidad cero. Lo mismo ocurre con todas las intersecciones de orden superior también.i ≠ j P ( A i ∩ A j ) = 0 i ≠ $A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

En otras palabras, puede decir, con probabilidad 1, que ninguno de los conjuntos puede ocurrir juntos. He visto tales conjuntos llamados casi disjuntos o casi seguramente disjuntos, pero creo que esa terminología no es estándar.

No realmente, por ejemplo, considere la distribución uniforme.

Deje y y para .A 2 = [ 0.5 , 1 ] ∪ ( Q ∩ [ 0 , 1 ] ) A i = ∅ i > $A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

P ( A 2 ) = 0.5 1 A 1 ∩ A 2 ≠ $P(A_1)=0.5$ y y suman pero no son disjuntos. .$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

Todavía pueden cruzarse con la medida de probabilidad .$0$