¿La diferencia entre dos rv simétricos también tiene una distribución simétrica?

Si tengo dos distribuciones simétricas diferentes (con respecto a la mediana) e , ¿la diferencia también es una distribución simétrica (con respecto a la mediana)? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
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La distribución de no es una "diferencia entre dos distribuciones", es la distribución de la diferencia entre variables aleatorias distribuidas simétricamente; La diferencia en las distribuciones sería ; que no es una distribución; de manera similar, una diferencia de archivos PDF no sería un

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— archivo

@Glen_b: edité el título del OP para decirlo, pero en el futuro, adelante, edítelo usted mismo. Coloquialmente creo que todos entendieron lo que significaba el OP.

— smci

@smci En realidad, elegí pedirle al OP que lo haga en lugar de hacerlo yo mismo por una razón (si revisas mi perfil verás que tengo más de 3100 publicaciones editadas; entiendo las reglas generales sobre la edición). Gracias por ayudar, sin embargo. También creo que un poco más de cuidado al expresar lo que significa resolvería una fracción sustancial de las preguntas de los novatos en el sitio; y creo que la claridad es especialmente importante en un título.

— Glen_b -Reinstate Monica

Respuestas:

Deje que e sean archivos PDF simétricos sobre las medianas y respectivamente. Mientras e sean independientes, la distribución de probabilidad de la diferencia es la convolución de e , es decir $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

donde es simplemente el PDF sobre con la mediana $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Intuitivamente, esperaríamos que el resultado sea simétrico respecto así que intentemos eso. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

En la segunda línea utilicé la sustitución en la integral. En la tercera línea, utilicé tanto la simetría de sobre como de sobreEsto demuestra que es simétrica con respecto si es simétrica alrededor de y es simétrica respecto $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Si e no fueran independientes, y y fueran simplemente distribuciones marginales, entonces necesitaríamos conocer la distribución conjunta,Luego, en la integral, tendríamos que reemplazar conSin embargo, solo porque las distribuciones marginales son simétricas, eso no implica que la distribución conjunta sea simétrica respecto de cada uno de sus argumentos. Por lo tanto, no podría aplicar un razonamiento similar. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— Quemadores de puente
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Esto va a depender de la relación entre e , aquí hay un contraejemplo donde e son simétricos, pero no lo es: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Entonces, aquí la mediana de no es la misma que la diferencia en las medianas y no es simétrica. $x-y$ $x-y$

Editar

Esto puede ser más claro en la notación de @ whuber:

Considere la distribución uniforme discreta donde e están relacionados de tal manera que solo puede seleccionar uno de los siguientes pares: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Si insiste en pensar en una distribución conjunta completa y luego considerar el caso en que puede tomar cualquiera de los valores y puede tomar los valores y la combinación puede tomar cualquiera de los 25 pares. Pero la probabilidad de los pares dados arriba es del 16% cada uno y todos los otros pares posibles tienen una probabilidad del 1% cada uno. La distribución marginal de será uniforme discreta, cada valor tiene una probabilidad del 20% y, por lo tanto, simétrica respecto de la mediana de 0, lo mismo es cierto para . Tome una muestra grande de la distribución conjunta y mire solo o solo $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ y verá una distribución marginal uniforme (simétrica), pero tome la diferencia y el resultado no será simétrico. $x-y$

— Greg Snow
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No entiendo este ejemplo en absoluto. Si puede ser igual a 4 e puede ser igual a, por ejemplo, 1, entonces debería ser 3, pero no enumera esta posibilidad. Tal vez no entiendo tu ejemplo; ¿Cuáles son estos tres vectores?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— ameba

x

$x$ e no son independientes en su ejemplo. Piense en , y como funciones de alguna variable aleatoria que indexa en cada vector. Entonces, si , , y

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly

Si usted está considerando y de no ser independiente, entonces usted está realmente viendo como una de dos variables variable aleatoria. Como tal, lo que demuestra es que los márgenes simétricos no implican que la distribución conjunta sea simétrica. Esa es una buena observación, pero la notación en esta respuesta es confusa. Puede ser más claro describir los datos en una notación bivariada como .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

— whuber

@amoeba, depende de la relación entre e , si son independientes o débilmente dependientes, entonces sí podría haber un caso como usted dice, pero mi ejemplo es una fuerte dependencia entre las 2 variables. Si X fuera altura en pulgadas ey altura en centímetros, entonces es un valor posible, e es un valor posible, pero no al mismo tiempo para el mismo objeto.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

— Greg Snow

Los comentarios y la edición han aclarado lo que querías decir. Gracias.

— ameba

Tendrá que asumir la independencia entre X e Y para que esto se mantenga en general. El resultado se sigue directamente ya que la distribución de es una convolución de funciones simétricas, que también es simétrica. $X-Y$

— Moro
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