Michael y Fraijo sugirieron que simplemente verificar si el valor del parámetro de interés estaba contenido en alguna región creíble era el equivalente bayesiano de invertir los intervalos de confianza. Al principio era un poco escéptico al respecto, ya que no era obvio para mí que este procedimiento realmente resultara en una prueba bayesiana (en el sentido habitual).
Resulta que sí, al menos si estás dispuesto a aceptar un cierto tipo de funciones de pérdida. Muchas gracias a Zen , que proporcionó referencias a dos documentos que establecen una conexión entre las regiones HPD y las pruebas de hipótesis:
Trataré de resumirlos aquí, para referencia futura. De forma análoga al ejemplo de la pregunta original, trataré el caso especial donde las hipótesis son donde es el espacio de parámetros.
H0:θ∈Θ0={θ0}andH1:θ∈Θ1=Θ∖Θ0,
Θ
Pereira y Stern propusieron un método para probar dichas hipótesis sin tener que poner probabilidades previas en yΘ0Θ1 .
Deje que denote la función de densidad de y definaθ T ( x ) = { θ : π ( θ | x ) > π ( θ 0 | x ) } .π(⋅)θ
T(x)={θ:π(θ|x)>π(θ0|x)}.
Esto significa que es una región HPD , con credibilidad .T(x)P(θ∈T(x)|x)
La prueba de Pereira-Stern rechaza cuando es "pequeño" ( , por ejemplo). Para un posterior unimodal, esto significa que está lejos en las colas del posterior, lo que hace que este criterio sea algo similar al uso de valores p. En otras palabras, se rechaza al nivel si y solo si no está contenido en la región HPD .Θ0P(θ∉T(x)|x)<0.05θ0Θ05 %95 %
Deje que la función de prueba sea si se acepta y si se rechaza . Madruga y col. propuso la función de pérdida
con .φ1Θ00Θ0
L(θ,φ,x)={a(1−I(θ∈T(x)),b+cI(θ∈(T(x)),if φ(x)=0if φ(x)=1,
a,b,c>0
La minimización de la pérdida esperada conduce a la prueba de Pereira-Stern donde se rechaza siΘ0P(θ∉T(x)|x)<(b+c)/(a+c).
Hasta ahora todo está bien. La prueba de Pereira-Stern es equivalente a verificar si está en una región HPD y si hay una función de pérdida que genera esta prueba, lo que significa que se basa en la teoría de la decisión.θ0
La parte controvertida es que la función de pérdida depende dex . Si bien tales funciones de pérdida han aparecido en la literatura varias veces, no parecen ser generalmente aceptadas como muy razonables.
Para leer más sobre este tema, vea una lista de documentos que citan Madruga et al. artículo .
Actualización de octubre de 2012:
No estaba completamente satisfecho con la función de pérdida anterior, ya que su dependencia de hace que la toma de decisiones sea más subjetiva de lo que me gustaría. Pasé más tiempo pensando en este problema y terminé escribiendo una breve nota al respecto, publicada en arXiv el día de hoy .x
Supongamos que denota la función cuantil posterior de , de modo que . En lugar de los conjuntos HPD, consideramos el intervalo central (cola igual) . Para la prueba utilizando este intervalo puede justificarse en el marco de la toma de teoría y sin pérdida de una función que depende de .qα(θ|x)θP(θ≤qα(θ|x))=α(qα/2(θ|x),q1−α/2(θ|x))Θ0x
El truco consiste en reformular el problema de probar la hipótesis de punto nulo como un problema de tres decisiones con conclusiones direccionales. se prueba con y .Θ0={θ0}Θ0Θ−1={θ:θ<θ0}Θ1={θ:θ>θ0}
Deje que la función de prueba si aceptamos (tenga en cuenta que esta notación es la opuesta a la utilizada anteriormente). Resulta que bajo la función de pérdida
ponderada
los Bayes prueba es rechazar si no está en el intervalo central.φ=iΘi0−1
L2(θ,φ)=⎧⎩⎨0,α/2,1,if θ∈Θi and φ=i,i∈{−1,0,1},if θ∉Θ0 and φ=0,if θ∈Θi∪Θ0 and φ=−i,i∈{−1,1},
Θ0θ0
Esto me parece una función de pérdida bastante razonable. Discuto esta pérdida, la pérdida de Madruga-Esteves-Wechsler y las pruebas usando conjuntos creíbles más adelante en el manuscrito en arXiv.