La pregunta (ligeramente modificada) es la siguiente y, si nunca la ha encontrado antes, puede consultarla en el ejemplo 6a, capítulo 2, de Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross :

Supongamos que poseemos una urna infinitamente grande y una colección infinita de bolas etiquetadas como bola número 1, número 2, número 3, y así sucesivamente. Considere un experimento realizado de la siguiente manera: de 1 minuto a 12 PM, las bolas numeradas del 1 al 10 se colocan en la urna y se retira una bola al azar. (Suponga que el retiro no toma tiempo). De 1/2 minuto a 12 PM, las bolas numeradas del 11 al 20 se colocan en la urna y se retira otra bola al azar. Entre 1/4 minuto y 12 p.m., las bolas numeradas del 21 al 30 se colocan en la urna y se retira otra bola al azar ... y así sucesivamente. La pregunta de interés es: ¿Cuántas bolas hay en la urna a las 12 p.m.?

Esta pregunta, tal como se plantea, obliga básicamente a todos a equivocarse --- por lo general, la intuición es decir que habrá infinitas bolas a las 12 p.m.La respuesta proporcionada por Ross, sin embargo, es que con una probabilidad la urna estará vacía a las 12 p.m.

Cuando se enseña la teoría de la probabilidad, este problema es uno de los que es muy difícil dar una buena explicación intuitiva.

Por un lado, podría intentar explicarlo así: "piense en la probabilidad de que una bola esté en la urna a las 12 p. M. Durante los sorteos aleatorios infinitos, eventualmente se eliminará. Dado que esto es válido para todas las bolas, ninguna de ellos pueden estar allí al final ".

Sin embargo, los estudiantes discutirán correctamente con usted: "pero estoy poniendo 10 bolas y quitando 1 bola cada vez. Es imposible que haya cero bolas al final".

¿Cuál es la mejor explicación que podemos darles para resolver estas intuiciones conflictivas?

También estoy abierto al argumento de que la pregunta está mal planteada y que si la formulamos mejor desaparece la "paradoja" o al argumento de que la paradoja es "puramente matemática" (pero trate de ser preciso al respecto).

Ross describe tres versiones de esta "paradoja" en el Ejemplo 6a de su libro de texto . En cada versión, se agregan 10 bolas a la urna y se retira 1 bola en cada paso del procedimiento.

1. En la primera versión, -ésimo balón se retira en el n paso-ésimo. Quedan infinitas bolas después de la medianoche porque todas las bolas con números que no terminan en cero todavía están allí.$10n$$n$

2. En la segunda versión, balón -ésimo se elimina en el n paso-ésimo. Quedan cero bolas después de la medianoche porque cada bola finalmente se eliminará en el paso correspondiente.$n$$n$

3. En la tercera versión, las bolas se eliminan de manera uniforme al azar. Ross calcula la probabilidad de que cada bola sea eliminada en el paso y encuentra que converge a 1 como n → ∞ (¡tenga en cuenta que esto no es evidente! Uno realmente tiene que realizar el cálculo). Esto significa, por la desigualdad de Boole , que la probabilidad de tener cero bolas al final también es 1 .$n$$1$$n\to\infty$$1$

Estás diciendo que esta última conclusión no es intuitiva y difícil de explicar; Esto está maravillosamente respaldado por muchas respuestas confusas y comentarios en este mismo hilo. Sin embargo, ¡la conclusión de la segunda versión es exactamente tan poco intuitiva! Y no tiene absolutamente nada que ver con la probabilidad o las estadísticas. Creo que después de que uno acepta la segunda versión, ya no hay nada particularmente sorprendente en la tercera versión.

Entonces, mientras que la discusión "probabilística" debe ser sobre la tercera versión [ver respuestas muy perspicaces de @ paw88789, @Paul y @ekvall], la discusión "filosófica" debería centrarse más bien en la segunda versión, que es mucho más fácil y similar en espíritu al hotel de Hilbert .

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La segunda versión se conoce como la paradoja de Ross-Littlewood . Enlace a la página de Wikipedia, pero la discusión allí es terriblemente confusa y no recomiendo leerla en absoluto. En cambio, eche un vistazo a este hilo de MathOverflow de hace años . Ya está cerrado pero contiene varias respuestas muy perceptivas. Un breve resumen de las respuestas que considero más cruciales es el siguiente.

Podemos definir un conjunto de las bolas presentes en la urna después del paso n . Tenemos que S 1 = { 2 , ... 10 } , S 2 = { 3 , ... 20 } , etc. Existe una noción matemáticamente bien definida del límite de una secuencia de conjuntos y se puede probar rigurosamente que el límite de esta secuencia existe y es el conjunto vacío ∅ . De hecho, ¿qué bolas pueden estar en el límite establecido? Solo los que nunca se eliminan. Pero cada bola es eventualmente eliminada. Entonces el límite está vacío. Podemos escribir$S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$ .$S_n \to \varnothing$

Al mismo tiempo, el número de las bolas en el conjunto S n , también conocida como la cardinalidad de este conjunto, es igual a 10 n - n = 9 n . La secuencia 9 n es obviamente divergente, lo que significa que la cardinalidad converge a la cardinalidad de N , también conocida como aleph-zero ℵ 0 . Entonces podemos escribir eso | S n | → ℵ 0 .$|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

La "paradoja" ahora es que estas dos declaraciones parecen contradecirse:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

Pero, por supuesto, no hay una verdadera paradoja ni contradicción. Nadie dijo que tomar cardinalidad es una operación "continua" en los sets, por lo que no podemos intercambiarlo con el límite: En otras palabras, por el hecho de que | S n | = 9 n para todos los enteros n ∈ N no podemos concluir que | S ω | (el valor en el primer ordinal ) es igual a ∞ . En cambio, | S ω

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$ tiene que calcularse directamente y resulta ser cero.

Así que creo que lo que sacamos de esto es la conclusión de que tomar cardinalidades es una operación discontinua ... [@HarryAltman]

Así que creo que esta paradoja es solo la tendencia humana a suponer que las operaciones "simples" son continuas. [@NateEldredge]

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Esto es más fácil de entender con funciones en lugar de conjuntos. Considere una función característica (también conocida como indicador) del conjunto S n que se define como igual a uno en el intervalo [ n , 10 n ] y cero en otro lugar. Las primeras diez funciones se ven así (compare el arte ASCII de la respuesta de @ Hurkyl):$f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

Todos estarán de acuerdo en que para cada punto , tenemos lim f n ( a ) = 0 . Esto, por definición, significa que las funciones f n ( x ) convergen a la función g ( x ) = 0 . Nuevamente, todos estarán de acuerdo con eso. Sin embargo, observe que las integrales de estas funciones ∫ ∞ 0 f ( x ) d x = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$cada vez más grande y la secuencia de integrales diverge. En otras palabras,

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

Este es un resultado de análisis completamente estándar y familiar. ¡Pero es una reformulación exacta de nuestra paradoja!

Una buena forma de formalizar el problema es describir el estado de la jarra no como un conjunto (un subconjunto de ), porque son difíciles de tomar límites, sino como su función característica. La primera "paradoja" es que los límites puntuales no son lo mismo que los límites uniformes. [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

El punto crucial es que "a medianoche del mediodía" toda la secuencia infinita ya ha pasado , es decir, hicimos un "salto trasfinito" y llegamos al estado transfinito . El valor de la integral "a medianoche del mediodía" tiene que ser el valor de la integral de lim f n , y no al revés.$f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

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Tenga en cuenta que algunas de las respuestas en este hilo son engañosas a pesar de estar muy votadas.

En particular, @cmaster calcula que de hecho es infinito, pero esto no es lo que la paradoja pregunta. La paradoja pregunta qué sucede después de toda la secuencia infinita de pasos; esta es una construcción transfinita y por lo que necesita ser computación ballCount ( S ω ) que es igual a cero como se explicó anteriormente.$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl (en una respuesta) y Dilip Sarwate (en un comentario) dan dos variantes deterministas comunes de este rompecabezas. En ambas variantes, en la etapa , bolas 10 k - 9 a través de 10 k se añaden a la pila ( k = 1 , 2 , . . . ). $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

En la variación de Hurkyl, la bola se elimina. En esta variante, se puede argumentar definitivamente que no quedan bolas porque la bola n se retira en el paso n .$k$$n$$n$

En la variación de Dilip Sarwate, la bola se elimina en el paso k , por lo que en esta variante, todas las bolas que no son múltiplos de 10 permanecen. En esta variante, hay infinitas bolas en la urna al final.$10k$$k$$10$

Con estas dos variantes como casos extremos, vemos que pueden suceder muchas cosas diferentes al hacer este proceso. Por ejemplo, puede hacer arreglos para que quede un conjunto finito de bolas al final, haciendo el proceso de Hurkyl pero omitiendo la eliminación de ciertas bolas. De hecho, para cualquier conjunto con un complemento infinitamente contable (en los números naturales (positivos)), puede tener ese conjunto de bolas restantes al final del proceso.$B$

Podríamos considerar la variación aleatoria del problema (dada en la publicación original) como la selección de una función con las condiciones de que (i) f es uno a uno y (ii) f ( k ) ≤ 10 k para todos k ∈ N .$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

El argumento presentado en el libro de Sheldon Ross (mencionado en la publicación) muestra que casi todas (en sentido probabilístico) tales funciones están de hecho en funciones (sobrejeturas).

Veo esto como algo análogo a la situación de seleccionar un número, de una distribución uniforme en [ 0 , 1 ] y preguntar cuál es la probabilidad de que el número esté en el conjunto de Cantor (estoy usando el conjunto de Cantor en lugar de decir los números racionales porque el conjunto de Cantor es incontable). La probabilidad es 0 a pesar de que hay muchos (innumerables) números en el conjunto de Cantor que podrían haberse elegido. En el problema de eliminación de bolas, el conjunto de secuencias en las que quedan bolas juega el papel del conjunto de Cantor.$x$$[0,1]$$0$

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Editar: BenMillwood señala correctamente que hay algunos conjuntos finitos de bolas que no pueden ser el conjunto restante. Por ejemplo, no puede ser el conjunto restante. Puede tener como máximo 90 % de los primeros 10 n bolas restantes para n = 1 , 2 , 3 , . . . .$1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

La respuesta de Enumaris es perfectamente correcta en el problema de los límites divergentes. Sin embargo, la pregunta puede ser respondida de manera inequívoca. Entonces, mi respuesta le mostrará con precisión dónde falla la solución de bolas cero y por qué la solución intuitiva es la correcta.

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Es cierto que para cualquier bola , la probabilidad de que esté en la urna al final P ( n ) es cero. Para ser precisos, solo el límite es cero: P ( n ) = lim N → ∞ P ( n , N ) = 0 .$n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

Ahora, intenta calcular la suma El cálculo roto salta directamente a esa parteP(n,N), diciendo que es cero en el límite, por lo que la suma contiene solo términos de cero, por lo que la suma es cero en sí misma: lim N → ∞ ballCount ( N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

Sin embargo, esto está dividiendo ilegalmente el en dos partes independientes. No puede simplemente mover el lim a la suma si los límites de la suma dependen del parámetro de la lim . Debes resolver el lim como un todo.$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

Por lo tanto, la única forma válida de resolver este es resolver primero la suma, utilizando el hecho de que $\lim$para cualquierNfinito. lim N → ∞ ballCount(N$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

La solución intuitiva hizo precisamente eso, es la solución "inteligente" que está fundamentalmente rota.

Este argumento se centra en la tendencia a que conjuntos y secuencias infinitas se comporten de manera unitaria. Esto no es más sorprendente que el Hotel Hilbert . En tal caso, habrás sacado un número infinito de bolas, pero habrás puesto un número infinito. Considera el hotel Hilbert al revés. Puede eliminar un número infinito de huéspedes del hotel, y todavía le queda un número infinito.

Si esto es físicamente realizable es otra cuestión completamente diferente.

Como tal, lo consideraría no necesariamente mal formado, sino más bien puesto en el libro equivocado. Este tipo de pregunta de conteo pertenece a un curso de teoría establecida, no a un curso de probabilidad.

Creo que ayuda a eliminar el componente temporal superfluo del problema.

La variante más básica de esta paradoja es eliminar siempre la bola con el número más bajo. Para facilitar el dibujo, también agregaré solo dos bolas en cada paso.

El procedimiento describe cómo completar una cuadrícula bidimensional infinita:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

donde cada fila se forma a partir de la anterior agregando dos asteriscos a la derecha y luego eliminando el extremo izquierdo.

Las preguntas que uno hace son:

¿Cuántas columnas terminan con asteriscos repetidos en lugar de puntos repetidos?

En mi opinión, la idea de equiparar erróneamente este resultado con "el límite del número de asteriscos en cada fila" es mucho menos convincente.

Esta respuesta tiene como objetivo hacer cuatro cosas:

1. Revise la formulación matemática del problema de Ross, mostrando cómo se sigue directamente y sin ambigüedades de la descripción del problema.

2. Defienda la posición de que la solución paradójica de Ross es matemáticamente sólida y relevante para nuestra comprensión del mundo físico, sea o no 100% físicamente realizable.

3. Discuta ciertos argumentos falaces arraigados en la intuición física, y demuestre que la solución "física" frecuentemente planteada de bolas infinitas al mediodía no solo está en contradicción con las matemáticas, sino también con la física.

4. Describa una implementación física del problema que pueda hacer que la solución de Ross sea más intuitiva. Comience aquí para obtener la respuesta a la pregunta original de Carlos.

1. Cómo describir el problema matemáticamente

Descomprimiremos el paso inicial de "modelado de proceso infinito" del argumento de Ross (p. 46) . Aquí está la declaración que nos centraremos en justificar:

Defina como el evento de que la bola número 1 todavía esté en la urna después de que se hayan realizado los primeros n retiros ... El evento de que la bola número 1 esté en la urna a las 12 PM es solo el evento ⋂ ∞ n = 1 E n .$E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

Antes de desempaquetar la declaración de Ross, consideremos cómo es posible comprender el contenido de la urna al mediodía, después de una secuencia infinita de operaciones. ¿Cómo podríamos saber qué hay en la urna? Bueno, pensemos en una bola específica ; puedes imaginar b = 1 o 1000 o lo que quieras. Si la bola b se sacó en alguna etapa del proceso antes del mediodía, ciertamente no estará en la urna al mediodía. Y a la inversa, si una bola dada estaba en la urna en cada etapa del proceso hasta el mediodía (después de que se agregó), entonces estaba en la urna al mediodía. Escribamos estas declaraciones formalmente:$b$$b=1$$1000$$b$

Una bola está en la urna al mediodía si y sólo si estaba en la urna en cada etapa n ∈ { n b , n b + 1 , n b + 2 , . . . } antes del mediodía, donde n b es la etapa en que se agregó la pelota a la urna.$b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

Ahora vamos a desempaquetar la declaración de Ross: ¿qué significa en inglés simple? Tomemos una sola realización x del proceso de urna y hablemos:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• significa que la bola 1 está en la urna después de la etapa 1 del proceso.$x \in E_1$
• significa que la bola 1 está en la urna después de las etapas 1 y 2 del proceso.$x \in E_1 \bigcap E_2$
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ significa que la bola 1 está en la urna después de las etapas 1, 2 y 3 del proceso.
• Para cualquier , x ∈ ⋂ n k = 1 E k significa que la bola está en la urna después de las etapas 1 a n .$k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

Claramente, entonces, significa que, en la realizaciónxde este proceso urna, bola 1 está en la urna después de las etapas 1, 2, 3,etcétera: todos etapas finitaskantes del mediodía. La intersección infinita ⋂ ∞ n = 1 E n es solo otra forma de escribir eso, entonces ⋂ ∞ n = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$contiene precisamente las realizaciones del proceso donde la bola 1 estaba en la urna en todas las etapas antes del mediodía Un evento es solo un conjunto definido de realizaciones de un proceso, por lo que la última oración es precisamente equivalente a decir que es el evento de que la bola 1 estaba en la urna en todas las etapas antes del mediodía, para este proceso aleatorio .$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Ahora, la frase clave: según nuestra declaración anterior "si y solo si", ¡esto es exactamente lo mismo que decir que la bola 1 estaba en la urna al mediodía! Entonces es el evento de que la bola 1 esté en la urna al mediodía, tal como Ross declaró originalmente. QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

En la derivación anterior, todo lo que dijimos es igualmente válido para las versiones deterministas y probabilísticas, porque el modelado determinista es un caso especial de modelado probabilístico en el que el espacio muestral tiene un elemento. Ni siquiera se utilizaron conceptos teóricos o de probabilidad de medida, más allá de las palabras "evento" y "realización" (que son solo jerga para "conjunto" y "elemento").

2. La solución paradójica es matemáticamente sólida y relevante para la física

Después de este punto de configuración, las variantes deterministas y probabilísticas divergen. En la variante determinista (versión 2 de la publicación de ameba), sabemos que la bola 1 se saca en el primer paso, por lo que y la intersección infinita, por supuesto, también está vacía. De manera similar, cualquier otra bola b se saca en la etapa b y no está presente al mediodía. Por lo tanto, la urna no puede contener ninguna bola numerada b al mediodía y, por lo tanto, debe estar vacía.$E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

En la variante probabilística, ocurre el mismo fenómeno, solo que en un sentido más suave de "expectativa". La probabilidad de que una bola determinada esté presente disminuye a cero a medida que nos acercamos al mediodía, y en el momento límite del mediodía, la bola casi seguramente no está presente. Como cada bola está presente con probabilidad cero, y la suma de infinitos ceros sigue siendo cero, casi seguro que no hay bolas en la urna al mediodía. Todo esto se muestra completamente riguroso por Ross; los detalles se pueden completar con un conocimiento de la teoría de medidas de nivel de posgrado, como lo muestra la respuesta de @ekvall.

Si acepta los argumentos estándar sobre objetos matemáticos expresados ​​como secuencias infinitas, por ejemplo , el argumento aquí debería ser tan aceptable, ya que se basa en los mismos principios exactos. La única pregunta que queda es si la solución matemática se aplica al mundo real, o solo al mundo platónico de las matemáticas. Esta pregunta es compleja y se discute más a fondo en la sección 4.$0.999... = 1$

Dicho esto, no hay razón para suponer que el problema de la urna infinita no es físico, o rechazarlo como irrelevante, incluso si no es físico. Se han obtenido muchos conocimientos físicos al estudiar estructuras y procesos infinitos, por ejemplo, alambres infinitos y redes de percolación . No todos estos sistemas son necesariamente realizables físicamente, pero su teoría da forma al resto de la física. El cálculo en sí mismo es "no físico" en algunos aspectos, porque no sabemos si es posible realizar físicamente las distancias y tiempos arbitrariamente pequeños que a menudo son objeto de estudio. Eso no nos impide poner un cálculo increíblemente bueno en las ciencias teóricas y aplicadas.

3. La falta de física de las soluciones basadas en la "intuición física"

Para aquellos que todavía creen que las matemáticas de Ross están mal o físicamente inexactas en la variante determinista, y la verdadera solución física es infinitamente muchas bolas: independientemente de lo que creas que sucede al mediodía, es imposible negar la situación antes del mediodía: cada bola numerada agregado a la urna finalmente se elimina. Entonces, si crees que de alguna manera todavía hay infinitas bolas en la urna al mediodía, debes admitir que ninguna de esas bolas puede agregarse antes del mediodía. Por lo tanto, esas bolas deben haber venido de otro lugar: usted está afirmando que infinitas bolas, no relacionadas con el proceso del problema original, surgen repentinamente al mediodía para rescatar la violación de la continuidad de la cardinalidad.Tan poco física como la solución de "conjunto vacío" puede parecer intuitivamente, esta alternativa es objetiva y demostrablemente no física. Infinitas colecciones de objetos no aparecen en un instante solo para satisfacer las pobres intuiciones humanas sobre el infinito.

La falacia común aquí parece ser que podemos ver el número de bolas a medida que el tiempo se acerca al mediodía, y asumir que la tendencia divergente produce infinitas bolas al mediodía, sin tener en cuenta exactamente qué bolas están entrando y saliendo. Incluso ha habido un intento de justificar esto con el "principio de indiferencia", que establece que la respuesta no debería depender de si las bolas están etiquetadas o no.

De hecho, la respuesta no depende de si las bolas están etiquetadas o no, pero ese es un argumento para la solución de Ross, no en contra. Desde la perspectiva de la física clásica, las bolas se etiquetan efectivamente, ya sea que las consideres etiquetadas o no. Tienen identidades distintas y permanentes que son equivalentes a las etiquetas, y un análisis verdaderamente físico debe explicar esto, ya sea que los números estén literalmente escritos en las bolas. Las etiquetas en sí no afectan directamente cómo sale la solución, pero son necesarias para describir exactamente cómo se mueven las bolas. Algunos procedimientos dejan las bolas en la urna para siempre, otras eliminan de manera comprobable cada bola que se agrega, y se necesitan etiquetas para incluso describir la diferencia entre estos procedimientos.Intentar ignorar las etiquetas no es "físico", es simplemente descuidar entender el problema físico con la suficiente precisión como para resolverlo. (Lo mismo ocurre con las variantes complicadas que reorganizan las etiquetas en cada etapa. Lo que importa es qué bolas están en la urna, no las etiquetas que alguien ha colocado o reemplazado sobre ellas. Esto se puede determinar ignorando el complicado esquema de reetiquetado por completo y simplemente usando un esquema de etiquetado único e inmutable, el problema original de Ross).

La única forma en que la distinguibilidad no sería cierta es si las "bolas" fueran partículas de mecánica cuántica. En este caso, el principio de indiferencia falla espectacularmente. La física cuántica nos dice que las partículas indistinguibles se comportan de manera completamente diferente a las distinguibles. Esto tiene consecuencias increíblemente fundamentales para la estructura de nuestro universo, como el principio de exclusión de Pauli, que es quizás el principio más importante de la química. Nadie ha intentado analizar una versión cuántica de esta paradoja todavía.

4. Describiendo la solución físicamente

Hemos visto cómo las vagas intuiciones "físicas" pueden llevarnos por mal camino en este problema. Por el contrario, resulta que una descripción físicamente más precisa del problema nos ayuda a comprender por qué la solución matemática es realmente la que tiene más sentido físico.

Considere un Universo Newtoniano infinito gobernado por las leyes de la mecánica clásica. Este universo contiene dos objetos: un estante infinito y una urna infinita, que comienzan en el origen del universo y corren uno al lado del otro, a un pie de distancia, por los siglos de los siglos. El estante se encuentra en la línea pies, mientras que la urna se encuentra en la línea y = 1 pie. A lo largo del estante se colocan infinitas bolas idénticas, separadas uniformemente a un pie de distancia, la primera a un pie del Origen (por lo que la bola n está en la línea x = n pies). La Urna, que en realidad es igual que el Estante, pero un poco más adornada, cerrada y en general Urna, está vacía.$y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

Un pasillo conecta la repisa y la urna en la parte inferior, y en la parte superior del pasillo, en el origen, se encuentra un robot Endeavour con una fuente de alimentación infinita. A partir de las 11 a.m., Endeavour se activa y comienza a acercarse y retroceder en el pasillo, transfiriendo bolas entre la urna y el estante de acuerdo con las instrucciones programadas de Ross-Littlewood:

• Cuando el programa ordena que la bola se inserte en la Urna, la bola n pies desde el Origen se transfiere desde el Estante a la Urna.$n$$n$
• Cuando los comandos de programa de bola sea retirado de la urna, la pelota n pies desde el origen se transfiere de la urna en el armario.$n$$n$

En cualquier caso, la transferencia se hace en línea recta, por lo que la bola permanece pies desde el origen. El proceso se desarrolla como se especifica en el problema de Ross-Littlewood:$n$

• A las 11:00 a.m., Endeavour transfiere las bolas 1-10 desde el estante a la urna, luego mueve una de las bolas de la urna de regreso al estante.
• A las 11:30 a.m., Endeavour transfiere las bolas 11-20 desde el estante a la urna, luego mueve una de las bolas de la urna de regreso al estante.
• A las 11:45 a.m., Endeavour transfiere las bolas 21-30 desde el estante a la urna, luego mueve una de las bolas de la urna de regreso al estante.
• etcétera...

A medida que el proceso continúa, cada nuevo paso requiere viajes más largos por el pasillo y solo la mitad del tiempo para realizar los viajes. Por lo tanto, Endeavour debe moverse hacia arriba y hacia abajo en el pasillo exponencialmente más rápido a medida que se acerca el mediodía. Pero siempre se mantiene al día con el programa, porque tiene una fuente de alimentación infinita y puede moverse tan rápido como sea necesario. Finalmente, llega el mediodía.

¿Qué sucede en esta versión más vívida de la paradoja? Visto desde arriba, el acercamiento hacia el mediodía es realmente espectacular. Dentro de la Urna, una Ola de bolas parece propagarse desde el Origen. El tamaño y la velocidad de la ola crecen sin límites a medida que se acerca el mediodía. Si tomáramos fotos inmediatamente después de cada paso, ¿cómo sería el diseño de las bolas? En el caso determinista, se verían exactamente como las funciones de paso en la respuesta de ameba. Las posiciones de la pelota seguirían precisamente las curvas que él ha trazado. $(x, y)$En el caso probabilístico, se vería más o menos similar, pero con más rezagos cerca del Origen.

Cuando llega el mediodía, hacemos un balance de lo sucedido. En la versión determinista, cada bola se transfirió desde el Estante a la Urna exactamente una vez, luego se movió hacia atrás en un paso posterior, con ambas transferencias antes del mediodía. Al mediodía, el Universo debe volver a su estado original de las 11 a.m. La ola ya no existe. Cada bola está de vuelta exactamente donde comenzó. Nada ha cambiado. La urna está vacía. En la versión probabilística sucede lo mismo, excepto que ahora el resultado es casi seguro y no seguro.

En cualquier caso, las "objeciones físicas" y las quejas sobre el infinito parecen desaparecer en el aire. Por supuesto, la Urna está vacía al mediodía. ¿Cómo podríamos haber imaginado lo contrario?

El único misterio que queda es el destino de Endeavour. Su desplazamiento desde el Origen y su velocidad se volvieron arbitrariamente grandes a medida que se acercaba el mediodía, por lo que al mediodía, Endeavor no se encuentra en ninguna parte de nuestro infinito universo newtoniano. La pérdida de Endeavor es la única violación de la física que ha ocurrido durante el proceso.

En este punto, uno podría objetar que Endeavour no es físicamente posible, ya que su velocidad crece sin límites y eventualmente violaría el límite relativista, la velocidad de la luz. Sin embargo, podemos cambiar ligeramente el escenario para resolver este problema. En lugar de un solo robot, podríamos tener infinitos robots, cada uno responsable de una sola bola. Podríamos programarlos de antemano para garantizar una coordinación y un tiempo perfectos de acuerdo con las instrucciones de Ross.

¿Es esta variación 100% física? Probablemente no, porque los robots tendrían que operar con un tiempo arbitrariamente preciso. A medida que nos acercamos al mediodía, la precisión exigida finalmente caería por debajo del tiempo de Planck y crearía problemas de mecánica cuántica. Pero en última instancia, un cable infinito y una red de percolación infinita podrían no ser tan físicos tampoco. Eso no nos impide estudiar sistemas y procesos infinitos y determinar qué sucedería si se suspendieran las obstrucciones físicas.

4a. Por qué se viola la monotonicidad del conde

Varios escépticos de Ross han cuestionado cómo es posible que el número de bolas en la urna aumente sin límite a medida que nos acercamos al mediodía, luego es cero al mediodía. En última instancia, debemos creer en un análisis riguroso sobre nuestra propia intuición, que a menudo está mal, pero hay una variación de la paradoja que ayuda a iluminar este misterio.

Supongamos que en lugar de infinitas bolas, tenemos bolas N etiquetadas 1, 2, 3, hasta 10 N , y emitimos la siguiente adición a las reglas para el jugador que mueve la bola:$10N$$10N$

• Si las instrucciones le piden que mueva una pelota que no existe, ignore esa instrucción.

Tenga en cuenta que el problema original no cambia si le agregamos esta instrucción, ya que la instrucción nunca se activará con infinitas bolas. Por lo tanto, podemos pensar en el problema original y en esta nueva familia de problemas como parte de la misma familia, con las mismas reglas. Examinando lo finitofamilia N, especialmente para N muy grande, puede ayudarnos a entender el caso "N = ∞ ".$N$$N$$\infty$

En esta variación, las bolas acumulan 9 por paso como antes, pero solo hasta el paso del proceso. Luego, los números para las bolas que se agregarán ya no corresponden a las bolas reales, y solo podemos cumplir con las instrucciones para eliminar las bolas, y el proceso se detiene después de $N$ pasos adicionales, para un total de 10 N pasos. Si N es muy grande, la fase de solo eliminación ocurre muy cerca del mediodía, cuando las tareas se realizan muy rápidamente y la urna se vacía muy rápidamente.$9N$$10N$$N$

Ahora supongamos que hacemos esta variación del experimento para cada valor de y graficamos el conteo de bolas a lo largo del tiempo, f N ( t ) , donde t varía de 0 a 1 hora después de las 11 a.m. (es decir, 11 a.m. al mediodía). Por lo general, f N ( t ) aumenta durante un tiempo, luego vuelve a cero en o antes de t = 1 . En el límite a medida que N se acerca al infinito, el gráfico aumenta cada vez más y la caída es cada vez más rápida. Al mediodía, la urna siempre está vacía: f N ( 1 ) = 0 . En el gráfico limitante, f $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$. Este es precisamente el resultado derivado de la prueba de Ross: el conteo de bolas diverge hasta el infinito antes del mediodía, pero es cero al mediodía. En otras palabras, la solución de Ross preserva la continuidad con respecto a N: el límite puntual del conteo de bolas ya que N → ∞ coincide con el conteo de bolas en la caja de bolas infinitas. , la curva se aproxima al infinito para t < 1 pero f ( 1 ) = $f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$$N \rightarrow \infty$

No considero que este sea un argumento principal para la solución de Ross, pero puede ser útil para aquellos que están desconcertados acerca de por qué el conteo de bolas aumenta para siempre, que se bloquea a cero al mediodía. Si bien es extraño, es el comportamiento limitante de la versión finita del problema como , y por lo tanto no es un "choque repentino" en el caso infinito.$N \rightarrow \infty$

Una reflexión final

¿Por qué este problema ha demostrado ser un pozo de alquitrán para tantos? Mi especulación es que nuestra intuición física es mucho más vaga de lo que pensamos, y a menudo sacamos conclusiones basadas en concepciones mentales imprecisas e incompletas. Por ejemplo, si le pido que piense en un cuadrado que también es un círculo, puede imaginar algo cuadrado y en círculo, pero no será precisamente ambas cosas, eso sería imposible. La mente humana puede combinar fácilmente conceptos vagos y contradictorios en una sola imagen mental. Si los conceptos son menos familiares, como el Infinito, podemos convencernos de que estos vagos mashups mentales son en realidad concepciones de la Cosa Real.

Esto es precisamente lo que sucede en el problema de la urna. Realmente no concebimos todo de una vez; pensamos en partes, como cuántas bolas hay a lo largo del tiempo. Alejamos tecnicismos supuestamente irrelevantes, como lo que le sucede a cada pequeña bola humilde con el tiempo, o cómo exactamente una "urna" puede contener infinitas bolas. Nos olvidamos de exponer todos los detalles con precisión, sin darnos cuenta de que el resultado es una combinación de modelos mentales inconsistentes e incompatibles.

Las matemáticas están diseñadas para rescatarnos de esta condición. Nos disciplina y acera frente a lo desconocido y lo exótico. Exige que pensemos dos veces sobre las cosas que "deben" ser ciertas ... ¿verdad? Nos recuerda que no importa cuán extrañas sean las cosas, uno y uno siguen siendo dos, una bola está en una urna o no, y una declaración es verdadera o falsa. Si perseveramos, estos principios finalmente traerán claridad a la mayoría de nuestros problemas.

Quienes subordinan el análisis matemático a las intuiciones "físicas" o de "sentido común" lo hacen bajo su propio riesgo. Agitar las manos sobre las intuiciones es solo el comienzo de la física. Históricamente, todas las ramas exitosas de la física finalmente se han basado en matemáticas rigurosas, que eliminan las intuiciones físicas incorrectas, fortalecen las correctas y permiten el estudio riguroso de los sistemas ideales, como el cable infinito que transporta corriente, que ilumina el comportamiento del mundo real más complicado y desordenado. Ross-Littlewood es un problema físico,típicamente interpretada como una de la mecánica clásica, y la mecánica clásica tiene una base matemática completamente madura y rigurosa. Debemos confiar en el modelado y análisis matemático para nuestras intuiciones sobre el mundo de la física clásica, y no al revés.

Varios carteles se han preocupado de que los cálculos en Ross no sean rigurosos. Esta respuesta aborda eso al demostrar la existencia de un espacio de probabilidad donde todos los conjuntos de resultados considerados por Ross son realmente medibles, y luego repite las partes vitales de los cálculos de Ross.

Encontrar un espacio de probabilidad adecuado

Para llegar a la conclusión de Ross de que no hay bolas en la urna a las 12 PM, casi seguramente, riguroso, necesitamos la existencia de un espacio de probabilidad donde el evento "no hay bolas en la urna a las 12 PM" ser construido formalmente y demostrado ser medible. Con ese fin, usaremos el Teorema 33 [Ionescu - Tulcea] en estas notas de clase$(\Omega, \mathcal F, P)$ , ligeramente redactadas, y una construcción sugerida por @NateEldredge en un comentario a la pregunta.

Teorema. (Ionescu - Teorema de extensión de Tulcea) Considere una secuencia de espacios medibles . Suponga que para cada n , existe un núcleo de probabilidad κ n desde ( Ξ 1 , X 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) a ( Ξ n$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$(tomando κ 1 como un núcleo insensible a su primer argumento, es decir, una medida de probabilidad). Entonces existe una secuencia de variables aleatorias X n ,n=1,2,...tomando valores en el Ξ n correspondiente, de modo que, para cadan, la distribución conjunta de( X 1 ,..., X n )es la implicada por los granos κ 1 ,..., κ n .$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$$(X_1, \dots, X_n)$$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

Dejamos que denotan la etiqueta de la bola eliminado en el n º retirada. Está claro que el proceso (infinito) X = ( X 1 , X 2 , ... ) , si existe, nos dice todo lo que necesitamos saber para imitar los argumentos de Ross. Por ejemplo, conocer X 1 , ... , X m para un número entero m ≥ 0 es lo mismo que conocer el número de bolas en la urna después de la extracción m : son precisamente las bolas agregadas con etiquetas { 1 , 2 $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$ , menos las bolas eliminadas { X 1 , ... , X m } . De manera más general, los acontecimientos que describe qué y cuántos, las bolas están en la urna después de la retirada dada puede expresarse en términos del proceso X .$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

Para cumplir con el experimento de Ross, necesitamos que, para cada , la distribución de X n ∣ X n - 1 , ... , X 1 sea ​​uniforme en { 1 , 2 , ... , 10 n } ∖ X 1 , ... , X n - 1 . También necesitamos que la distribución de X 1 sea ​​uniforme en { 1 , ... , 10 $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$. Para demostrar que existe un proceso infinito con estas distribuciones de dimensiones finitas, verificamos las condiciones del Teorema de extensión de Ionescu-Tulcea. Para cualquier número entero n , deje I n = { 1 , 2 , ... , n } y defina los espacios medibles ( Ξ n , X n ) = ( I 10 n , 2 I 10 n$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$$\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$, Donde denota el poder conjunto del conjunto B . Define la medida$2^B$$B$ en ( Ξ 1 , X 1 ) para ser el que pone masa 1 / 10 en todos los elementos de Ξ 1 . Para cualquier n ≥ 2 , y ( x 1 , … , x n - 1 ) ∈ Ξ 1 × ⋯ × Ξ n - 1 define$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$$(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$ es el núcleo de probabilidad que pone la misma masa en todos los puntos en Ξ n ∖ { x 1 , ... , x n - 1 } y la masa cero en todos los demás puntos, es decir, en los enteros x i ∈ Ξ n , i = 1 , … , n - $\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$. Por construcción, los núcleos de probabilidad coinciden con la probabilidad de eliminación uniforme especificada por Ross. Por lo tanto, el proceso infinito y el espacio de probabilidad ( Ω , F , P ) , cuya existencia está dada por el teorema, nos dan una forma de llevar a cabo formalmente el argumento de Ross.$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

Deje denota el conjunto de resultados como esa bola $E_{in}$$i$ está en la urna después de la retirada . En términos de nuestro proceso estocástico X esto significa que, para todos los i y n tal que i ≤ 10 n definimos E i n = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ i } , es decir balón i no estaba eliminado en cualquiera de los sorteos hasta e incluyendo el $n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$th. Para podemos definir claramente E i n = ∅ ya que la bola i aún no se ha agregado al turno. Para cada j e i , el conjunto { ω : X j ( ω ) ≠ i } es medible ya que X j es una variable aleatoria (medible). Por lo tanto, E i n es medible como la intersección finita de conjuntos medibles.$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$X_j$$E_{in}$

Estamos interesados ​​en el conjunto de resultados para que no haya bolas en la urna a las 12 p. M. Es decir, el conjunto de resultados para que por cada entero , la bola i no esté en la urna a las 12 p. M. cada i , sea E i el conjunto de resultados ( ω ∈ Ω ) de modo que la bola i esté en la urna a las 12 p.m. Podemos construir E i formalmente usando nuestra E i n de la siguiente manera. Que $i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$está en la urna a las 12 p.m. es equivalente a estar en la urna después de cada extracción realizada después de que se agregó a la urna, entonces . El conjunto de resultados E i es ahora medible como la intersección contable de conjuntos medibles, para cada i .$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$$E_i$$i$

Los resultados para los cuales hay al menos una bola en la urna a las 12 PM son aquellos para los que ocurre al menos una de las , es decir, E = ∪ ∞ i = 1 E i . El conjunto de resultados E es medible como la unión contable de conjuntos medibles. Ahora, Ω ∖ E es el evento de que no hay bolas en la urna a las 12 p.m., lo que de hecho es medible como el complemento de un conjunto medible. Llegamos a la conclusión de que todos los conjuntos de resultados deseados son medibles y podemos pasar a calcular sus probabilidades, como lo hace Ross.$E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

Calcular la probabilidad $P(\Omega \setminus E)$

Primero notamos que dado que la familia de eventos es contable, tenemos por subaditividad contable de medidas que$E_i, i = 1, 2, \dots$

Para facilitar la notación, denotemos el número realP(Ei)=aipara todoi. Claramente, para mostrar queP(E)=0es suficiente para mostrar que∑ N

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ $P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$para todos losN. Esto es equivalente a mostrar queai=0para cadai, lo que haremos ahora.$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

Con ese fin, tenga en cuenta que para todo tal que la bola i se ha agregado a la urna, es decir, 10 n ≥ i , E i n ⊇ E i ( n + 1 ) . Esto es así porque si la bola i está en la urna en el paso n + 1 , también está en la urna en el paso n . En otras palabras, los conjuntos E i n , forman una secuencia decreciente para todos n, de modo que 10 n ≥ i . Para facilitar la notación, deje $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$. Ross demuestra que a 1 n →0comon→∞y afirma que esto también se puede mostrar para todas las otrasi, lo que tomaré como verdadero. La prueba consiste en mostrar que a i n = ∏ n k = i [9k / (9k+1)]y lim n → ∞ a i n$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$$a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$ para todo i , un cálculo elemental pero largo que no repetiré aquí. Armado con este resultado, y el hecho de que la familia de eventos E i n , 10 n > i es contable para cadai, la continuidad de las medidas da$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

Concluimos que , y por lo tanto P ( Ω ∖ E ) = 1 como se reivindica. QED$P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

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Algunos malentendidos comunes:

1. Una respuesta está relacionada con el hecho de que (en mi notación) . Esto, sin embargo, no tiene relación con la validez de la solución porque la cantidad en el lado derecho no es la de interés según el argumento proporcionado.$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. Ha habido cierta preocupación de que el límite no se puede mover dentro de la suma, o en otras palabras, no se puede intercambiar con la suma en el sentido de que puede ser el caso de que . Al igual que el comentario anterior, esto es irrelevante para la solución porque la cantidad en el lado derecho no es la de interés.$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

Por un lado, podría intentar explicarlo así: "piense en la probabilidad de que una bola esté en la urna a las 12 p. M. Durante los sorteos aleatorios infinitos, eventualmente se eliminará. Dado que esto es válido para todas las bolas, ninguna de ellos pueden estar allí al final ".

Este argumento no me parece convincente. Si este argumento funciona, entonces funciona el siguiente argumento: todos los años, algunas personas nacen (digamos una fracción constante de la población total) y otras mueren (supongamos una fracción constante). Entonces, dado que en el límite cualquier persona en particular está casi seguramente muerta, ¡entonces la raza humana debe extinguirse! Ahora, la raza humana puede extinguirse por otras razones, pero este argumento es basura.

No tiene ningún sentido que este problema tenga una solución cuando las bolas están numeradas y que tenga una respuesta totalmente diferente cuando las bolas son anónimas. Por simetría, las etiquetas arbitrarias no deberían afectar la solución. Jaynes llamó a este argumento el principio de indiferencia , que acepto.

En otras palabras, si alguien le dijera que ponen diez bolas en una urna y quitan una repetidamente, y qué tan llena está la urna en el límite, ¿su respuesta sería "Depende de si las bolas están numeradas"? Por supuesto no. El contenido de esa urna diverge al igual que la urna en este problema.

Por lo tanto, creo que la solución radica en cómo formalizamos el problema. De la definición habitual de límite teórico de conjuntos , tenemos

lim sup n → ∞ S n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

Deje que el límite de la cardinalidad del conjunto sea

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

y la cardinalidad del -limit del set sea$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

Propongo que el límite teórico de conjunto se redefina para que:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

Este especial "conjunto anónimo" describe lo que sucede en el infinito. Así como ∞ representa el comportamiento limitante de los números, α representa el comportamiento limitante de los conjuntos. A saber, tenemos i ∉ α k ∀ i , y | α k | = k . El beneficio de este formalismo es que nos da continuidad de cardinalidad y consistencia con el principio de indiferencia .$\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

Para el problema de la urna, tenemos es el conjunto de bolas en la urna. Y lim n → ∞ S n = α ∞ . Por lo tanto, los elementos no "caen de un precipicio" en el infinito, lo que no tiene más sentido que lo que tiene sentido que la humanidad se extinga simplemente porque ningún hombre es inmortal.$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

Del mismo modo, supongamos que modificamos el problema para que en cada paso se agregue una bola y se retire la bola con el número más bajo. Entonces, ¿cuántas bolas hay en la urna en el límite? Los conjuntos anónimos dan la respuesta intuitiva:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

Reconozco que los matemáticos pueden estar en desacuerdo sobre las resoluciones a esta paradoja, pero para mí, esta es la resolución más intuitiva.

The problem is either ill-formed or not in first-order logic.

Root cause: execution of the "last" step will write an infinite number of digits on a ball, causing that step to take itself an infinite time to execute.

The ability to execute an infinite process with an infinite step implies the ability to solve all first-order logic problems (Gödel is therefore false) by execution of the following sequence H (for theorem X):

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

where the infinite step is unspooling the output

The program inside the asymptotic_coroutine is merely an exhaustive search for a theorem that proves (or disproves) X. Converting P to S results in "aa", "ab", "ac", ... "a∨", ... where every symbol that can appear in a theorem is generated. This results in generating all theorems of length log_characters N in turn. Since N grows without limit in the outer loop this will eventually generate all theorems.

El lado que es falso nunca terminará, pero no tenemos que preocuparnos por eso porque se nos permite ejecutar infinitos pasos. De hecho, dependemos de poder hacer esto para detectar la independencia, ya que ambas partes nunca terminarán. Salvo por una cosa. Permitimos ejecutar un número infinito de pasos en un tiempo finito mediante el aumento asintótico de la velocidad de ejecución. Esta es la parte sorprendente. La asymptotic_coroutine que nunca termina y nunca genera resultados ha "terminado" * después del tiempo asintótico y aún no ha generado ningún resultado.

* Si colocamos una SALIDA después de FOR N = 1 ... ∞ no se alcanzaría pero no vamos a hacer eso.

The strong form of Gödel's Incompleteness Theorem may be stated "For every first-order logic system F there is a statement G_F that is true in F but cannot be proven to be true in F." But proof method H cannot fail to prove all must-be-true statements in F(H).

Dilemma: ¬Gödel ∨ ¬(infinite steps are allowed)
Therefore:
Dilemma: ¬Gödel ∨ ¬(315502 is well formed in first order logic)

Let x be the number of balls that have been removed and y be the number of balls remaining. After each cycle y=9x. As x>0, y>0. There will be infinitely many balls in the urn at 12PM.

The reason that solutions based on probabilities lead to difficulties is that the probabilities from infinite series are tricky. ET Jaynes wrote about a few different apparent paradoxes of probability, like this one, in his book Probability Theory: The Logic of Science. I do not have my copy at hand, but the first part of the book is available online from Larry Bretthorst here. The following quote is from the preface.

Yet when all is said and done we find, to our own surprise, that little more than a loose philosophical agreement remains; on many technical issues we disagree strongly with de Finetti. It appears to us that his way of treating infinite sets has opened up a Pandora’s box of useless and unnecessary paradoxes; nonconglomerability and finite additivity are examples discussed in Chapter 15.

Infinite set paradoxing has become a morbid infection that is today spreading in a way that threatens the very life of probability theory, and requires immediate surgical removal. In our system, after this surgery, such paradoxes are avoided automatically; they cannot arise from correct application of our basic rules, because those rules admit only finite sets and infinite sets that arise as well-defined and well-behaved limits of finite sets. The paradoxing was caused by (1) jumping directly into an infinite set without specifying any limiting process to define its properties; and then (2) asking questions whose answers depend on how the limit was approached.

For example, the question: “What is the probability that an integer is even?” can have any answer we please in (0, 1), depending on what limiting process is to define the “set of all integers” (just as a conditionally convergent series can be made to converge to any number we please, depending on the order in which we arrange the terms).

In our view, an infinite set cannot be said to possess any “existence” and mathematical prop- erties at all—at least, in probability theory—until we have specified the limiting process that is to generate it from a finite set. In other words, we sail under the banner of Gauss, Kronecker, and Poincar ́e rather than Cantor, Hilbert, and Bourbaki. We hope that readers who are shocked by this will study the indictment of Bourbakism by the mathematician Morris Kline (1980), and then bear with us long enough to see the advantages of our approach. Examples appear in almost every Chapter.

The use of limits in the answer of @enumaris (+1) provides a way around the trickiness of infinities in probability.

¿Cuál es la mejor explicación que podemos darles para resolver estas intuiciones conflictivas?

Aquí está la mejor respuesta, y tiene muy poco que ver con las probabilidades. Todas las bolas tienen números, llamémoslas números de nacimiento. Los números de nacimiento comienzan desde B1, B2, B3 ... y van al infinito, porque realmente nunca nos detenemos. Nos acercamos a las 12:00 AM, pero seguimos agregando y quitando bolas, por eso no hay un número final de bolas. Esta es una consideración muy importante, por cierto.

Ponemos las bolas en una caja en 10 lotes de bolas, como el lote # 7: B71, B72, ..., B80. Olvidémonos de estos por un minuto y concéntrese en las bolas que se sacan de la caja. Vienen en un orden aleatorio . Explicaré por qué la aleatoriedad es importante más adelante, pero por ahora todo lo que significa es que cualquier bola con un número brith de B1 a B10k que todavía está en la caja en el paso K puede ser extraída. Vamos a indexar las bolas que eliminamos por el orden en que fueron eliminadas, llamémoslas números de muerte: D1, D2, D3 ... DK.

A las 12:00 AM colocamos un número infinito de bolas en una caja, y seguramente nunca nos quedamos sin bolas para retirarlas. ¿Por qué? Debido a que primero ponemos 10 bolas, LUEGO solo retire una. Entonces, siempre hay una bola para eliminar. Esto significa que también eliminamos un número infinito de bolas a las 12:00 a.m.

This also means that each removed ball was indexed from 1 to infinity, i.e. we could pair each removed ball to a ball that was put in the box: B1 to D1, B2 to D2, etc. This means that we removed as many balls as we put in, because each birth number was paired with each death number.

Now that was the solution. Why does it defeat our intuition? It's elementary, Dr Watson. The reason is because we surely know that for all K this holds:

$$K<10K$$ That's why after K steps, we should not be able to remove all ball from the box, because we put 10K balls and removed only K of them. Right?

There is a little problem. The matter is that when $K=\infty$, this is no longer true:

$$10\times\infty\nless\infty$$ That's why the intuition breaks down.

Now, if the balls were not removed at random. Two thing may happen as in @amoeba's canonical answer. First, let's say we were putting 10 balls then immediately removing the last one. It's as if we were putting only nine balls in. This will match our intuition, and at 12:00AM there will be infinite number of balls. How come? Because we were not removing balls randomly, we were following the algorithm where the birth numbers were paired to death numbers as $B10K=DK$ at the time of removal. So, we paired each removed ball to one of the balls that we put in: $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$ , this means a ton of balls were never ever paired B1,B2,...,B9,B11,... etc.

The second thing that may happen with non random ball removal is also related to pairing at removal: we correlate BK=DK. We can do this by removing a ball with BK at each step K, which ensures that BK is paired to DK. This way each removed ball is paired with each ball that we put in, i.e. the same end result like in the random draw of removed balls. Obviously, this means that there are no balls left in the box after 12:00AM.

I just have shown that the problem has very little to do with probabilities per se. It has everything to do with powers of infinite countable (?) sets. The only real problem that I avoided discussing is whether the sets are truly countable. You see when you get closer to 12:00AM your rate of ball inserts is increasing rather quickly, to put it mildly. So, it's not so trivial to devise whether the number of balls that we put into the box is actually countable.

Unraveling

Now, I'm going to unravel this canonical solution of the paradox, and get back to our intuition.

How is is possible that we put 10 balls in, remove one and still run out of all the balls at 12 hour? Here's what really is happening. 12 hour is unreachable.

Let as reformulate the problem. We don't halve time intervals anymore. We put and remove balls every minute. Isn't this exactly the same as in the original problem? Yes and no.

Yes, because nowhere in my exposition above I referred explicitly to time but at the very end. I was counting the steps k. So, we can keep counting the steps and dead balls by k.

No, because now we're never going to stop. We'll keep adding and removing balls till the end of time, which never arrives. While in the original problem the end is at 12 hour.

This explains how our intuition fails. Although we put balls at 9x rate of removal, because time never ends, every ball that we put in will be removed eventually! It may take infinite number of minutes, but it's Ok, because we have infinite number of minutes remaining. That's the true solution of the problem.

In this formulation would you ask "how many balls are in the box after infinity is over?" No! Because it's a nonsensical question. That's why the original question is nonsensical too. Or you could call it ill-posed.

Now, if you go back to the original problem, then the end of time apparently happens. It's at 12. The fact that we stopped putting balls in means that time just ended, and we reached beyond the end of it. So, the true answer to the question is that 12 o'clock should never occur. It's unreachable.

Vale la pena leer la respuesta de ameba que es excelente y aclara mucho el problema. No estoy exactamente en desacuerdo con su respuesta, pero quiero señalar que la solución del problema se basa en una determinada convención. Lo interesante es que este tipo de problema muestra que esta convención, aunque se usa con frecuencia, es cuestionable.

Tal como él dice que hay un punto técnico sobre probar que para cada bola la probabilidad de permanecer en la urna para siempre es 0. Aparte de este punto, el problema no se trata de probabilidades. Se puede dar un equivalente determinista. Es mucho más fácil de entender. La idea clave es: dado que cada bola está ausente de la urna en algún momento, la urna al final está vacía. Si representa la presencia en la urna de cada bola mediante una secuencia de ceros y unos, cada secuencia es 0 desde un cierto rango, por lo tanto, su límite es 0.

Ahora el problema se puede simplificar aún más. Llamo a los momentos 1, 2, 3 ... por simplicidad:

• momento 1: poner la bola 1 en la urna
• momento 2: eliminarlo
• momento 3: poner la bola 2 en la urna
• momento 4: eliminarlo
• momento 5: pon la bola 3 en la urna
• ...

¿Qué bolas al final (mediodía)? Con la misma idea, la misma respuesta: ninguna.

Pero fundamentalmente, no hay forma de saberlo, porque el problema no dice qué sucede al mediodía. En realidad, es posible que al final de los tiempos, Pikachu llegue repentinamente a la urna. O tal vez todas las bolas colapsan repentinamente y se fusionan en una gran bola. No significa que esto sea realista, simplemente no está especificado.

El problema solo puede responderse si una determinada convención nos dice cómo llegar al límite: una suposición de continuidad. El estado de la urna al mediodía es el límite de sus estados anteriores. ¿Dónde deberíamos buscar un supuesto de continuidad que nos ayudaría a responder la pregunta?

¿En leyes físicas? Las leyes físicas aseguran una cierta continuidad. Pienso en un modelo clásico simplista, que no recurre a la física moderna real. Pero fundamentalmente, las leyes físicas traerían exactamente las mismas preguntas que las matemáticas: la forma en que elegimos describir la continuidad de las leyes físicas se basa en hacer la pregunta matemáticamente: ¿qué es continuo, cómo?

Tenemos que buscar un supuesto de continuidad de una manera más abstracta. La idea habitual es definir el estado de la urna como una función del conjunto de bolas en$\{0;1\}$. 0 significa ausente, 1 significa presente. Y para definir la continuidad, utilizamos la topología del producto, también conocida como convergencia puntual. Decimos que el estado al mediodía, es el límite de los estados antes del mediodía según esta topología. Con esta topología, hay un límite, y es 0: una urna vacía.

Pero ahora modificamos un poco el problema para desafiar esta topología:

• momento 1: poner la bola 1 en la urna
• momento 2: eliminarlo
• momento 3: poner la bola 1 en la urna
• momento 4: eliminarlo
• momento 5: poner la bola 1 en la urna
• ...

Para la misma topología, la secuencia de estados no tiene límite. Ahí es donde empiezo a ver la paradoja como una verdadera paradoja. Para mí, este problema modificado es esencialmente el mismo. Imagina que eres la urna. Ves bolas yendo y viniendo. Si no puede leer el número que contiene, si es la misma bola u otra no cambia lo que le está sucediendo. En lugar de ver las bolas como elementos distintos individuales, las ves como una cantidad de materia que entra y sale. La continuidad podría definirse naturalmente al observar variaciones de la cantidad de materia. Y de hecho no hay límite. En cierto modo, este problema es el mismo que el problema original en el que decides ignorar la identidad de la pelota, lo que lleva a una métrica diferente y una noción diferente de convergencia. E incluso si pudieras ver el número en las bolas,

En un caso, el límite de la secuencia de sus estados está "vacío", en el otro caso el límite no está definido.

La formalización del problema con la topología del producto se basa fundamentalmente en separar lo que le sucede a cada bola diferente, y así crear una métrica que refleje la "distinishablitiy". Solo debido a esta separación, se puede definir un límite. El hecho de que esta separación sea tan fundamental para la respuesta pero no fundamental para describir "lo que está sucediendo" en la urna (un punto que es discutible sin fin), me hace pensar que la solución es la consecuencia de una convención más que una verdad fundamental.

For me, the problem, when considered as purely abstract has a solution as long as the missing information is provided: that the state at noon is the limit of the previous states and limit in what sense. However, when thinking of this problem intuitively, the limit of the sequence of states is not something you can think in a single manner. Fundamentally, I think there is no way to answer.

I want to make a reformulation that is as easy as possible to make the answer of 0 more intuitive, starting from the simplified example that balls are not removed randomly, but ball $n$ is removed at the $n$-th step.

Consider this: I put all balls into the urn at the beginning. In step 1, I take out ball 1. In step 2, I take out ball 2, and so on. Any doubt that the urn will be empty after infinite steps?

Okay. But if I don't put all balls into the urn at first, but only some balls, how could the urn be fuller in the end?

El objetivo de esta publicación es argumentar a favor de la última opción de los OP de que necesitamos una mejor formulación. O al menos, la prueba de Ross no es tan clara como puede parecer al principio, y ciertamente, la prueba no es tan intuitiva que está en una buena posición para estar en un curso de introducción a la teoría de la probabilidad. Requiere mucha explicación tanto para comprender los aspectos paradójicos, como una vez que se haya aclarado la explicación en los puntos donde la prueba de Ross pasa muy rápidamente, lo que hace difícil ver de qué axiomas, teoremas e interpretaciones implícitas depende la prueba.

En relación con este aspecto, es muy divertido leer las últimas palabras de Teun Koetsier en "Didactiek met oneindig veel pingpongballen?"

Al niet oppassen dan wordt het 'Paradoxes a window to confusion'.

Traducido "Si no tenemos cuidado, se convierte en 'Paradojas, una ventana a la confusión'"

A continuación hay una descripción de los argumentos "regulares" que pueden pasar en las discusiones sobre las supertask, y más específicamente la paradoja determinista de Ross-Littlewood. Después de esto, cuando dejamos a un lado toda esta discusión, se da una visión del caso especial de la paradoja probabilística de Ross-Littlewood que proporciona elementos adicionales , que sin embargo se pierden y confunden en el entorno más amplio con supertasks.

Tres casos deterministas y discusión sobre supertasks

La paradoja de Ross-Littlewood conoce muchos resultados diferentes dependiendo de la forma en que las bolas se desplazan de la urna. Para investigar esto, comencemos usando la descripción exacta del problema como Littlewood describe como el quinto problema en su manuscrito de 1953

Versión 1 El conjunto de bolas que quedan en la urna está vacío

La paradoja de Ross-Littlewood, o paradoja de Littlewood-Ross, apareció por primera vez como el quinto problema en el manuscrito de Littlewood de 1953 "una mezcla de matemáticos"

Una paradoja del infinito. Las bolas numeradas 1, 2, ... (o para un matemático los números mismos) se colocan en una caja de la siguiente manera. De 1 minuto a mediodía se introducen los números del 1 al 10 y se saca el número 1. De 1/2 minuto a mediodía se introducen los números del 11 al 20 y se saca el número 2 y así sucesivamente. ¿Cuántos hay en la caja al mediodía?

Littlewood es corto acerca de este problema, pero ofrece una buena representación como conjunto de puntos:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

para lo cual se nota fácilmente que es 'nulo'.

Versión 2 El conjunto de bolas que quedan en la urna tiene un tamaño infinito.

Ross (1976) agrega dos versiones más a esta paradoja. Primero nos fijamos en la primera adición:

Supongamos que poseemos una urna infinitamente grande y una colección infinita de bolas etiquetadas como bola número 1, número 2, número 3, y así sucesivamente. Considere un experimento realizado de la siguiente manera: de 1 minuto a 12 PM, las bolas numeradas del 1 al 10 se colocan en la urna y se retira la bola número 10. (Suponga que el retiro no toma tiempo). De 12 minutos a 12 PM, las bolas numeradas del 11 al 20 se colocan en la urna y la bola número 20 se retira. De 14 minutos a 12 PM, las bolas numeradas del 21 al 30 se colocan en la urna y se retira la bola número 30. A las 18 minutos a las 12 PM, y así sucesivamente. La pregunta de interés es: ¿Cuántas bolas hay en la urna a las 12 p.m.?

Obviamente la respuesta es infinita ya que este procedimiento deja todas las bolas con números $x \mod 10 \neq 0$ en la urna, que son infinitamente muchas.

Antes de pasar a la segunda adición de Ross, que incluía probabilidades, pasamos a otro caso.

Versión 3 El conjunto de bolas que quedan en la urna es un conjunto finito de tamaño arbitrario

La urna puede tener cualquier número de bolas a las 12 p. M. Dependiendo del procedimiento de desplazamiento de las bolas. Tymoczko y Henle (1995) han descrito esta variación como el problema de la pelota de tenis.

Tom está en una caja grande, vacía excepto por él mismo. Jim está parado fuera de la caja con un número infinito de pelotas de tenis (numeradas 1, 2, 3, ...). Jim tira las bolas 1 y 2 dentro de la caja. Tom recoge una pelota de tenis y la tira. A continuación, Jim lanza las bolas 3 y 4. Tom recoge una pelota y la tira. A continuación, Jim lanza las bolas 5 y 6. Tom recoge una pelota y la tira. Este proceso continúa un número infinito de veces hasta que Jim ha arrojado todas las bolas. Una vez más, le pedimos que acepte realizar un número infinito de tareas en un período de tiempo finito. Aquí está la pregunta: ¿Cuántas bolas hay en la caja con Tom cuando termina la acción?

La respuesta es algo inquietante: depende. No se ha proporcionado suficiente información para responder la pregunta. Puede que quede un número infinito de bolas, o puede que no haya ninguna.

En el ejemplo del libro de texto, argumentan a favor de los dos casos, ya sea infinito o finito (Tymoczko y Henle, dejan el caso intermedio como ejercicio), sin embargo, el problema se lleva más allá en varios artículos de revistas en los que el problema se generaliza para que podamos obtener cualquier número dependiendo del procedimiento seguido.

Especialmente interesantes son los artículos sobre los aspectos combinatorios del problema (sin embargo, donde el foco no está en los aspectos en el infinito). Por ejemplo, contar el número de conjuntos posibles que podemos tener en cualquier momento. En el caso de sumar 2 bolas y eliminar 1 en cada paso, los resultados son simples y el número de conjuntos posibles en el enésimo paso es el n + 1-ésimo número catalán. Por ejemplo, 2 posibilidades {1}, {2} en el primer paso, 5 posibilidades {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} y {3,4} en el segundo paso, 14 en el tercero, 42 en el cuarto, etcétera (ver Merlín, Sprugnoli y Verri 2002, El problema de la pelota de tenis ). Este resultado se ha generalizado a diferentes números de sumar y restar bolas, pero esto va demasiado lejos para esta publicación ahora.

Argumentos basados ​​en el concepto de supertasks

Antes de llegar a la teoría de la probabilidad, ya se pueden hacer muchos argumentos contra los casos deterministas y la posibilidad de completar la supertask. Además, uno puede preguntarse si el tratamiento teórico establecido es una representación válida de la representación cinemática de la supertask. No deseo discutir si estos argumentos son buenos o malos. Los menciono para resaltar que el caso probabilístico puede contrastarse con estos argumentos de 'supertask' y puede verse como que contiene elementos adicionales que no tienen nada que ver con las supertasks. El caso probabilístico tiene un elemento único y separado (el razonamiento con la teoría de la probabilidad) que no se prueba ni se refuta al argumentar en contra o por el caso de las supertask.

• Argumentos de continuidad : estos argumentos son a menudo más conceptuales. Por ejemplo, la idea de que el supertask no se puede terminar como Aksakal y Joshua argumentan en sus respuestas, y una demostración clara de estas nociones es la lámpara de Thomson , que en el caso de la paradoja de Ross Littlewood sería como preguntar, fue la última que se eliminó número impar o par?

• Argumentos físicos: también existen argumentos que desafían la construcción matemática como relevante para la realización física del problema. Podemos tener un tratamiento matemático riguroso de un problema, pero queda la duda de si esto realmente tiene relación con una ejecución mecanicista de la tarea (más allá de las nociones simplistas como romper ciertas barreras del mundo físico como límites de velocidad o requisitos de energía / espacio) .

  • Un argumento podría ser que el límite teórico de conjuntos es un concepto matemático que no necesariamente describe la realidad física.

    Por ejemplo, considere el siguiente problema diferente: La urna tiene una bola dentro de la cual no nos movemos. Cada paso borramos el número previamente escrito en la bola y reescribimos un nuevo número más bajo en él. ¿La urna estará vacía después de infinitos pasos? En este caso, parece un poco más absurdo usar el límite teórico del conjunto, que es el conjunto vacío. Este límite es bueno como razonamiento matemático, pero ¿representa la naturaleza física del problema? Si permitimos que las bolas desaparezcan de las urnas debido a un razonamiento matemático abstracto (que, tal vez debería considerarse más como un problema diferente ), ¿podríamos hacer desaparecer toda la urna?

  • Además, la diferenciación de las bolas y la asignación de un orden parece "no física" (es relevante para el tratamiento matemático de los conjuntos, pero ¿las bolas en la urna se comportan como esos conjuntos?). Si reorganizamos las bolas en cada paso (por ejemplo, cada paso cambia aleatoriamente una bola de la pila descartada con una bola de la pila restante de bolas infinitas), olvidando así la numeración en función de cuándo ingresan a la urna o del número que obtuvieron desde el principio, entonces los argumentos basados ​​en límites teóricos establecidos ya no tienen sentido porque los conjuntos no convergen (no hay una solución estable una vez que una bola ha sido descartada de la urna, puede volver de nuevo).

    Desde la perspectiva de realizar las tareas físicas de llenar y vaciar la urna, parece que no debería importar si tenemos o no números en las bolas. Esto hace que el razonamiento teórico de conjuntos se parezca más a un pensamiento matemático sobre conjuntos infinitos que al proceso real.

De todos modos, si insistimos en el uso de estas paradojas infinitas con fines didácticos y, por lo tanto, antes de llegar a la teoría de la probabilidad, primero debemos luchar por tener una idea aceptable de (ciertas) supertaskas aceptadas por los más escépticos / tercos pensadores, entonces puede ser interesante utilizar la correspondencia entre la paradoja de Zenón y la paradoja de Ross-Littlewood descrita por Allis y Koetsier (1995) y brevemente descrita a continuación.

En su analogía, Aquiles está tratando de atrapar a la tortuga mientras ambos cruzan banderas que se colocan de esa manera, con la distancia

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ tal que la distancia de Aquiles con $n$ banderas es el doble de la distancia de la tortuga con $10n$ banderas, a saber $F(n) = 2 F(10n)$. Luego hasta las 12.pm. La diferencia en las banderas que la tortuga y Aquiles tendrán en el pasado está creciendo . Pero, eventualmente a las 12 pm, nadie excepto los Eleatics argumentaría que Aquiles y la tortuga llegaron al mismo punto y (por lo tanto) tienen cero banderas entre ellos.

El caso probabilístico y cómo agrega nuevos aspectos al problema.

La segunda versión agregada por Ross (en su libro de texto), elimina las bolas según una selección aleatoria

Supongamos ahora que cada vez que se retira una bola, esa bola se selecciona aleatoriamente entre los presentes. Es decir, suponga que de 1 minuto a 12 PM se colocan bolas numeradas del 1 al 10 en la urna y se selecciona y retira aleatoriamente una bola, y así sucesivamente. En este caso, ¿cuántas bolas hay en la urna a las 12 p.m.?

La solución de Ross es que la probabilidad es 1 para que la urna esté vacía. Sin embargo, si bien la argumentación de Ross parece sólida y rigurosa, uno podría preguntarse qué tipo de axiomas son necesarios para esto y cuál de los teoremas utilizados podría estar bajo tensión por supuestos implícitos que podrían no estar fundados en esos axiomas (por ejemplo, la presuposición de que a los eventos al mediodía se les pueden asignar probabilidades).

En resumen, el cálculo de Ross es una combinación de dos elementos que divide el evento de una urna no vacía en innumerables subconjuntos / eventos y demuestra que para cada uno de estos eventos la probabilidad es cero:

1. Por, $F_i$, el evento ese número de bola $i$ está en la urna a las 12 de la noche, tenemos $P(F_1) = 0$

2. Por, $P(\bigcup_1^\infty F_i)$, la probabilidad de que la urna no esté vacía a las 12 pm tenemos

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

El caso probabilístico de la paradoja de Ross-Littlewood, sin razonar sobre supertasks

En la forma más simple de la paradoja, despojándola de cualquier problema con el desempeño de las supertask, podemos preguntarnos sobre el problema "más simple" de restar conjuntos infinitos. Por ejemplo, en las tres versiones obtenemos:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

and the problem reduces to a set subtraction like $S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$.

Any infinite sequence, $S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$ , is a (equally) possible sequence that describes the order in which the balls can be removed in a probabilistic realization of the Ross-Littlewood problem. Lets call these infinite sequences RL-sequences.

Now, the more general question, without the paradoxical reasoning about supertasks, is about the density of RL sequences that do not contain the entire set $\mathbb{N}$

A graphical view of the problem.

nested, fractal, structure

Antes de la versión editada de esta respuesta, había formulado un argumento que usaba la existencia de un mapa inyectivo desde 'las secuencias infinitas que vacían la urna' hasta 'las secuencias infinitas que no contienen el número 1'.

Ese no es un argumento válido. Compare, por ejemplo, con la densidad del conjunto de cuadrados. Hay infinitos cuadrados (y existe la relación biyectiva).$n \mapsto n^2$ y $n^2 \mapsto n$), sin embargo, el conjunto de cuadrados tiene una densidad cero en $\mathbb{N}$.

La siguiente imagen crea una mejor vista de cómo, con cada paso adicional, la probabilidad de que la bola 1 en la urna disminuya (y podemos argumentar lo mismo para todas las otras bolas). Aunque la cardinalidad del subconjunto de todas las secuencias RL (las secuencias de bolas desplazadas) es igual a la cardinalidad de todas las secuencias RL (la imagen muestra una especie de estructura fractal y el árbol contiene infinitas copias de sí mismo).

crecimiento del espacio muestral, número de caminos

La imagen muestra todas las realizaciones posibles para los primeros cinco pasos, con el esquema para el problema de la pelota de tenis (el problema de la pelota de tenis, cada paso: agregar 2, eliminar 1, crece menos rápido y es más fácil de mostrar). Las líneas turquesa y púrpura muestran todos los caminos posibles que pueden desplegarse (imagínese en cada paso$n$ tiramos un dado de tamaño $n+1$ y en función de su resultado seleccionamos uno de los $n+1$ caminos, o en otras palabras, en función de los resultados, eliminamos uno de los $n+1$ bolas en la urna).

El número de composiciones de urna posibles (las cajas) aumenta a medida que el número catalán n + 1 $C_{n+1}$, y el número total de rutas aumenta a medida que el factorial $(n+1)!$. Para el caso de las composiciones de urna con la bola número 1 en el interior (color gris oscuro) y los caminos que conducen a estas cajas (púrpura), los números se despliegan exactamente igual, sin embargo, esta vez es el número enésimo catalán y el factorial$n!$.

densidad de caminos que dejan la pelota $n$ dentro

Entonces, para los caminos que conducen a una urna con la bola número 1 adentro, la densidad es $\frac{(n)!}{(n+1)!}$ y disminuye como $n$se hace más grande Si bien hay muchos logros que conducen a encontrar el número de bola$n$ en el recuadro, la probabilidad se acerca a cero (yo diría que esto no lo hace imposible, pero casi seguramente no sucede, y el truco principal en el argumento de Ross es que la unión de muchos eventos nulos contables también es un evento nulo) .

Ejemplo de rutas para los primeros cinco pasos en el problema de la pelota de tenis (cada paso: agregar 2 eliminar 1)

Los argumentos de Ross para una urna ciertamente vacía.

Ross define los eventos (subconjuntos del espacio muestral), $E_{in}$, que una pelota numerada $i$ está en la urna al paso $n$. (en su libro de texto en realidad deja de lado el subíndice$i$ y argumenta a favor de la pelota 1).

Prueba paso 1)

Ross usa su proposición 6.1. para aumentar o disminuir secuencias de eventos (por ejemplo, disminuir es equivalente a$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$).

Proposition 6.1: If $\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$ is either an increasing or a decreasing sequence of events, then

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

Using this proposition Ross states that the probability for observing ball $i$ at 12 p.m. (which is the event $lim_{n \to \infty} E_{in}$) is equal to

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Allis and Koetsier argue that this is one of those implicit assumptions. The supertask itselve does not (logically) imply what happens at 12 p.m. and solutions to the problem have to make implicit assumptions, which is in this case that we can use the principle of continuity on the set of balls inside the urn to state what happens at infinity. If a (set-theoretic) limit to infinity is a particular value, then at infinity we will have that particular value (there can be no sudden jump).

An interesting variant of the Ross-Littlewood paradox is when we also randomly return balls that had been discarded before. In that there won't be convergence (like Thomson's lamp) and we can not as easily define the limit of the sequences $E_{in}$ (which is not decreasing anymore).

Proof step 2)

The limit is calculated. This is a simple algebraic step.

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

Proof step 3)

It is argued that step 1 and 2 works for all $i$ by a simple statement

"Similarly, we can show that $P(F_i)=0$ for all $i$"

where $F_i$ is the event that ball $i$ has been taken out of the urn when we have reached 12 p.m.

While this may be true, we may wonder about the product expression whose lower index now goes to infinity:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

I have not so much to say about it except that I hope that someone can explain to me whether it works.

It would also be nice to obtain better intuitive examples about the notion that the decreasing sequences $E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$, which are required for proposition 6.1, can not all start with the step number index, $n$, being equal to 1. This index should be increasing to infinity (which is not just the number of steps becoming infinite, but also the random selection of the ball that is to be discarded becomes infinite and the number of balls for which we observe the limit becomes infinite). While this technicality might be tackled (and maybe already has been done in the other answers, either implicitly or explicitly), a thorough and intuitive, explanation might be very helpful.

In this step 3 it becomes rather technical, while Ross is very short about it. Ross presupposes the existence of a probability space (or at least is not explicit about it) in which we can apply these operations at infinity, just the same way as we can apply the operations in finite subspaces.

The answer by ekvall provides a construction, using the extension theorem due to Ionescu-Tulcea, resulting in an infinite product space $\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$ in which we can express the events $P(E_i)$ by the infinite product of probability kernels, resulting in the $P=0$.

However it is not spelled out in an intuitive sense. How can we show intuitively that the event space $E_{i}$ works? That it's complement is the null set (and not a number 1 with infinitly many zeros, such as is the solution in the adjusted version of the Ross-Littlewood problem by Allis and Koetsier) and that it is a probability space?

Proof step 4)

Boole's inequality is used to finalize the proof.

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

The inequality is proven for sets of events which are finite or infinite countable. This is true for the $F_i$.

This proof by Ross is not a proof in a constuctivist sense. Instead of proving that the probability is almost 1 for the urn to be empty at 12 p.m., it is proving that the probability is almost 0 for the urn to be filled with any ball with a finite number on it.

Recollection

The deterministic Ross-Littlewood paradox contains explicitly the empty set (this is how this post started). This makes it less surprising that the probabilistic version ends up with the empty set, and the result (whether it is true or not) is not so much more paradoxical as the non-probabilistic RL versions. An interesting thought experiment is the following version of the RL problem:

• Imagine starting with an urn that is full with infinitely many balls, and start randomly discarding balls from with it. This supertask, if it ends, must logically empty the urn. Since, if it was not empty we could have continued. (This thought experiment, however, stretches the notion of a supertask and has a vaguely defined end. Is it when the urn is empty or when we reach 12 p.m.?)

There is something unsatisfying about the technique of Ross' proof, or at least some better intuition and explanation with other examples might be needed in order to be able to fully appreciate the beauty of the proof. The 4 steps together form a mechanism that can be generalized and possibly applied to generate many other paradoxes (Although I have tried I did not succeed).

We may be able to generate a theorem such that for any other suitable sample space which increases in size towards infinity (the sample space of the RL problem has $card(2^\mathbb{N})$). If we can define a countable set of events $E_{ij}$ which are a decreasing sequence with a limit 0 as the step $j$ increases, then the probability of the event that is the union of those events goes to zero as we approach infinity. If we can make the union of the events to be the entire space (in the RL example the empty vase was not included in the union whose probability goes to zero, so no severe paradox occurred) then we can make a more severe paradox which challenges the consistency of the axioms in combination with transfinite deduction.

• One such example (or an attempt to create on) is the infinitely often splitting of a bread into smaller pieces (in order to fulfill the mathematical conditions let's say we only make the splits into pieces that have the size of a positive rational number). For this example we can define events (at step x we have a piece of size x), which are decreasing sequences and the limit of the probability for the events goes to zero (likewise as the RL paradox, the decreasing sequences only occur further and further in time, and there is pointwise but not and uniform convergence).

  We would have to conclude that when we finish this supertask that the bread has disappeared. We can go into different directions here. 1) We could say that the solution is the empty set (although this solution is much less pleasant than in the RL paradox, because the empty set is not part of the sample space) 2) We could say there are infinitely many undefined pieces (e.g. the size of infinitely small) 3) or maybe we would have to conclude (after performing Ross' proof and finding empty) that this is not a supertask that can be completed? That the notion of finishing such a supertask can be made but does not necessarily "exist" (a sort of Russell's paradox).

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A quote from Besicovitch printed in Littlewood's miscellany:

"a mathematician's reputation rests on the number of bad proofs he has given".

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Allis, V., Koetsier, T. (1995), On Some Paradoxes of the Infinite II, The British Journal for the Philosophy of Science, pp. 235-247

Koetsier, T. (2012), Didactiek met oneindig veel pingpongballen, Nieuw Archief voor Wiskunde, 5/13 nr4, pp. 258-261 (dutch original, translation is possible via google and other methods)

Littlewood, J.E. (1953), A mathematician's Miscellany, pp. 5 (free link via archive.org)

Merlin, D., Sprugnoli, R., and Verri M.C. (2002), The tennis ball problem, Journal of Combinatorial Theory, pp. 307-344

Ross, S.M. (1976), A first course in probability, (section 2.7)

Tymoczko, T. and Henle, J. (1995 original) (1999 2nd edition reference on google), Sweet Reason: a field guide to modern logic

OK, lo intentaré de nuevo.

La respuesta es que la paradoja es puramente matemática. Las respuestas de Enumaris y de cmaster dicen lo que está sucediendo de una manera, pero esta es otra forma de ver el problema. El problema es cómo lidiamos con las probabilidades con infinitos, como Jaynes ha escrito sobre (ver mi otro intento de respuesta para más detalles).

Una serie infinita generalmente se trata como si no tuviera fin, pero en este problema hay un tiempo de finalización (12PM) y, lógicamente, incluso si no es matemáticamente, hay un último ciclo de adición y eliminación de bolas: el que sucede infinitamente antes de las 12 p.m. La existencia de un "último" ciclo nos permite mirar las probabilidades hacia atrás y hacia adelante a través del tiempo.

Considere las diez bolas que se agregaron por última vez. Para cada uno de ellos, su probabilidad de ser eliminado es cero porque cada uno es solo una de las bolas infinitas que podrían eliminarse. Por lo tanto, la probabilidad de que haya al menos diez bolas restantes a las 12 p.m. es la unidad.

QED Un argumento probabilístico que no conduce a tonterías.

Recientemente, varios comentarios de Wilhelm, Wolfgang Mückenheim, me hicieron reconsiderar ciertas formulaciones en mi respuesta. Estoy publicando esto como una nueva respuesta principalmente porque el enfoque diferente de esta respuesta, no discutiendo sobre la enseñanza de este problema, sino sobre la paradoja como no válida.

Wilhelm discute en su extenso manuscrito que

Las transacciones solo son posibles en pasos finitos $n$ (no hay acción posible "entre todos $n$ y $\omega$").

Esto me recordó el término

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

que se deriva del trabajo de Ross. Este término es indeterminado cuando el camino al infinito no está definido para el siguiente límite.

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

Esto parece parecerse al punto que discute Wilhelm y también se menciona en la respuesta de aksakal. Los pasos en el tiempo se vuelven infinitamente pequeños, por lo que podremos alcanzar las 12 pm en ese sentido, pero al mismo tiempo necesitaremos agregar y eliminar un número infinito (no físico) de bolas. Es una idea falsa adjuntar esta supertask a un proceso como la flecha de Zeno, al igual que el interruptor de la lámpara paradójica de Thompson no puede tener una posición definida al final de una supertask.

En términos del límite, podemos decir que el camino físico hacia el infinito que tomamos es

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

entonces no cero sino infinito.

Creo que este ejemplo admite "si la premisa es falsa, entonces el condicional es verdadero"

En este universo, no hay urnas infinitas ni una colección infinita de bolas. Es imposible dividir el tiempo en piezas arbitrariamente pequeñas.

Por lo tanto, Sheldon Ross tiene razón al decir que la urna está vacía a las 12:00. Los estudiantes que dicen que la urna tiene bolas infinitas a las 12:00 tienen la misma razón.

Si respondiste que la urna tiene 50 bolas, entonces también estás en lo correcto.

No he demostrado rigurosamente que este universo no contenga urnas infinitas y bolas infinitas y que el tiempo no es atómico, solo creo en esas cosas. Si crees que esas tres afirmaciones están equivocadas, entonces crees que el problema de Ross es empíricamente falsificable. Estoy esperando tus resultados experimentales.

Apoyo la opinión de que el problema está mal planteado. Cuando consideramos algo transfinito, a menudo tenemos que usar un límite. Parece que aquí es el único camino. Como distinguimos diferentes bolas, tenemos un proceso de dimensión infinita

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ dónde $t=-1,-1/2,-1/4,...$ representa el tiempo, $X_{t,j}=1$ si hay la pelota $j$ en el momento $t+0$ y $X_{t,j}=0$ de otra manera.

Ahora es a discreción de cada uno qué convergencia usar: uniforme, componente, $l_p$, etc. No hace falta decir que la respuesta depende de la elección.

El malentendido en este problema pasa por descuidar el hecho de que las cuestiones métricas son cruciales cuando consideramos la convergencia de vectores de dimensiones infinitas. Sin elegir el tipo de convergencia, no se puede dar una respuesta correcta.

(Hay convergencia componente a vector cero. Mientras $l_1$ la norma cuenta el número de bolas, por lo que en esta norma el proceso está explotando).

Más intuición que la educación formal, pero:

Si los intervalos hasta la medianoche se reducen a la mitad, nunca llegamos a la medianoche ... solo nos acercamos asintóticamente; por lo que se podría argumentar que no es ninguna solución.

Alternativamente, dependiendo de la redacción:

• Como hay intervalos infinitos de +10 bolas, la respuesta es infinita
• Como hay intervalos infinitos de (+10 bolas - 1) la respuesta es 10 * infinito -1 * infinito = 0?
• como hay intervalos infinitos de (+9 bolas) +1 la respuesta es infinita + 1

Rewrite: Jan 16, 2018

Section 1: Outline

The fundamental results this post are as follows:

• The halfway ball has a probability of about $0.91$ of remaining in the limit as the step goes to $\infty$ - this is both a real world observation and is derived mathematically.
  The derived function has a domain of the rationals in $(0,1]$. For example, the probability in the limit of the halfway ball remaining corresponds to the domain value $1/2$. This function can computed the probability of remaining for any fraction of the step size.
• Ross' analysis is not wrong but is incomplete because it attempts to iterate the rationals in order of magnitude $\left(i,\infty\right), i=1..\infty$.
  The rationals cannot be iterated in order of magnitude. Hence, Ross's analysis cannot access the full domain and can only offer a limited view of the total behavior.
• Ross's analysis does however account for one particular observable behavior: in the limit it is not possible through serial iteration from 1 to reach the first remaining ballset.
• Ross' limit sequences have some nice convincing properties that seem intuitively unique.
  However, we show another set of limit sequences which satisfy the same nice properties and give the values for our function.

Section 2 "Notation and terminology" covers notation and terminology used in this post.

Section 3 "The Halfway Ballset" introduces a real world observation - the converge in the limit of the probability of remaining of a ball whose index is a halfway through all the inserted balls. This limit value is about 91%. The case of the halfway ballset is generalized to any rational in $(0,1]$, which all have non-zero limit values.

Section 4 "Resolution of the Paradox" presents a unified framework for including both Ross' result and the 'rational-domain' results (described herein). As already noted, Ross' analysis an only offer a limited view of the total behavior. Hence, the source of the paradox is identified and resolved.

In the appendix some other results less important results are discussed:

• "Expectations in the limit" calculates the expected number of balls remaining up to and including any fraction of the step size.
• A corollary of this result is determining the index of the first ball which has an expectation of remaining greater than one.

Section 2: Notation and terminology

• We label the ball indexes inserted at step $n$ as $\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$ and call this set the $n$th "ballset". Ballset is one word, created for this post.
  This terminology regrettably deviates from Ross' terminology, but it also makes the text much clearer and shorter.
• The notation $E(a,b)$ refers to the event that ball $a.1$ in ballset $a$ remains at step $b$, ignoring the other balls in the ballset.
• The notation $P(a,b)$ is an abbreviation for $P(E(a,b))$ and it refers to the probability of $E(a,b)$.
  Note that all balls $a.i$ in ballset $a$ have the same probability of remaining.
  -- The value of $P(E(a,b))$ is $\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$.
• The Ross limit $P(a)$ is the probability $P(a,b)$ as $b$ goes to infinity:
  -- $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• The rational-limit is defined as the limit as the both ball index $a$ and step $b$ go to infinity while maintaining constant ratio: -- $P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

Section 3: The halfway ballset

At every even step $2n$, the halfway ballset is defined as the $n$th ballset. At every even step $2n$, the halfway probability of remaining is defined as $P(n,2n)$.
In the limit as $n\rightarrow\infty$, the halfway probability of remaining is therefore $\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$.
Theorem 1 below gives a numerical value for the halfway probability of remaining.

Theorem 1 - Limit of probability of elements in a ratio-preserving domain sequence

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ The proof is given below just before the appendix.

By Theorem 1, the halfway probability of remaining in the limit is $(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$ which evaluates to an approximate decimal value of $0.925875$.

Sanity Check Lets do a sanity check to see if the numerical limit for the halfway probability "looks right".

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

The first 4 rows are the halfway probabilities of remaining for the step number values of $10^3$, $10^4$, $10^5$, and $10^6$, respectively. The final row is the limit. It seems the halfway probabilities are indeed converging to the predicted limit.
This real world observation, which does not fit within Ross's framework, needs to be explained.

** Section 4 "Resolution of the Paradox" **

This section explains a unified framework for both Ross' analysis and the rational-domain analysis, By viewing them together the paradox is resolved.

The rational limit $P_{lim2}(a,b)$ is reducible to a function from the rationals $(0,1]$ to the reals $(0,1]$:

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ where $gcd(a',b')=1$ and $\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$. Here $gcd()$ indicates greatest common divisor. Equivalently statements are "$a'$ and $b'$ are mutually prime", and "$\frac{a'}{b'}$ is the reduced fraction of $\frac{a}{b}$.

The Ross limit can be written as the limit of a sequence of rational limits:

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ The tuple $(0,b)$ is not a member of the rationals in $(0,1]$; it belongs to $[0,0]$. Therefore the Ross limit is isomorphic to the function $P_{lim2}(a,b)$ on domain $[0,0]$ and its image is always the unique real $0$.

The Ross limit and the rational-limit are the same function on two disjoint domains $[0,0]$ and $(0,1]$ respectively. The Ross limit only considers the case of ballset indexes which have been demoted to be infinitely small relative to the stepsize.

The Ross-limit analysis predicts that in the limit, accessing the values $P_{lim1}(i)$ sequentially for $i=1,2,...\infty$ will never reach a non-zero value.
This is a correct and corresponds to real world observation.

The rational-limit analysis accounts for real world observations such as the halfway ballset which the Ross-limit does not account for. The function is the same $P_{lim2}(a,b)$ but the domain is $(0,1]$ instead of $[0,0]$

The diagram below depicts the both the Ross limit sequences and the rational limit sequences.

It is probably fair to say that Ross' analysis includes an implicit assumption that the Ross-limit and its domain is the entire domain of interest. The intuition implicitly underlying Ross' assumption is like due to the four conditions below even if they are not explicitly recognized:

Let $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$ be the $i$th Roth limit sequence. Let $S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$ be the union of Roth limit sequences.

• (1) The sequences $S_i$ are disjoint and each sequence converges.
• (2) The union of elements of all sequences $S$ cover exactly the set of all (ball,step) tuples coming into play: $\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) All of the sequences $S_i$ are infinite in $n$, the step index, so they don't terminate "early".
• (4) The sequences $S_i$ themselves form a super-sequence $\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$. Therefore that super-sequence can be "created" iteratively, i,e,, they are countable.

It's not immediately apparent that another system of limit sequences could satisfy the above points (1) - (4).

However, we will now discuss another system of limit sequences which do indeed satisfy the above points (1) - (4).

Let $S_{p,q}$, where $gcd(p,q)=1$, represent the rational-limit sequence

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ Let $D^*$ be the mutually prime tuples of $D$: = $D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$ . Let $S^*$ be the union of said rational limit sequences: $S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

Clearly the sequences $S_{p,q}$ whose union is $S^*$ satisfy the above properties (1) - (3).
The indexes $(p,q)$ are exactly the rationals on $(0,1]$. To satisfy condition (4) we need to show that the rationals on $(0,1]$ are countable.

The (Farey sequence)2 of order $n$ is the sequence of completely reduced fractions between 0 and 1 which when in lowest terms have denominators less than or equal to $n$, arranged in order of increasing size. Here are the first eight Farey sequences:

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Let $F^*_n$ represent the $n$th Farey sequence without the first element $0/1$.

Let $S^*_n$ be the union of rational limit sequences which have at least one element up to and including step $n$:

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

The elements of $F^*_n$ index, converted from fractions to tuples, exactly index the elements of $S^*_n$. The following table compares the grouping of the limit sequences in the Ross analysis and the rational limit analysis:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

Finally, since methods exist [3],[4] for iteratively creating the super sequence $F^*_n$, the condition (4) is also satisfied.

One of those methods, a variant of the Stern-Brocot tree, is as follows:

The mediant of two rationals $a/c$ and $b/d$ is defined as $\frac{a+b}{c+d}$

• Set $F*_n = \emptyset$
• Append $1/n$ to $F*_n$

• Loop for $i$ in $1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • Append $F*_{n-1}[i]$ to F*_n$

  • Let $x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • If $denom(x) \leq n$ append x to $F*_n$
  • continue loop
• Append $F*_{n-1}[n]$ to $F*_n$

The paradox has been resolved.

Proof of Theorem 1 First note that:

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$ where the last transformation is the Sterling transformation.

Then, syntactically substituting $a\rightarrow a*n$ and $b\rightarrow b*n$ into the last (Sterling form) equation we get

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

Appendix: Other results

Expectations in the limit

This section gives a closed expression for the expected number of balls remaining up to and including any fraction of the step size.
A corollary of this result is a numerical approximation of the index of the first ball which has an expectation of remaining greater than one.

( To be continued )

Editar Editar

Larga historia corta. La llamada paradoja es un error de forma indeterminada, un error de principiante con un resultado similar a un error de división por cero que demuestra que$1=2$. Tales errores, en este caso para contar números, naturalmente producen respuestas que pueden ser 0,$n$ o $\infty$.

Por cierto, cuando uno agrega un número infinito de probabilidades infinitesimales, uno crea $\frac{1}{\infty}\infty$, una forma indeterminada, y la prueba de Ross no es correcta. Para obtener una respuesta correcta, use la regla de L'Hopital. El infinito no es un número . Tratar el infinito como si fuera un número conduce a errores.