do(x)XxXXX
PP∗P∗PP∗U⊥XP∗(U)=P(U)P∗(Y|X,U)=P(Y|X,U)
P(Y|do(X)):=P∗(Y|X)=∑UP∗(Y|X,U)P∗(U|X)=∑UP∗(Y|X,U)P∗(U)=∑UP(Y|X,U)P(U)
XZ
P(Z|do(X))=P(Z|X)
P(Y|do(X))XZY
P(Y|do(Z))=∑X′P(Y|X′,Z)P(X′)
Donde estoy usando el primo por conveniencia de notación para la siguiente expresión. Entonces, estas dos expresiones ya están en términos de la distribución previa a la intervención, y simplemente usamos el razonamiento de puerta trasera anterior para derivarlas.
XYZYXZP(Y|Z,do(X))=P(Y|do(Z),do(X))=P(Y|do(Z))XYZZYX
P(Y|do(X))=∑ZP(Y|Z,do(X))P(Z|do(X))=∑ZP(Y|do(Z))P(Z|do(X))=∑Z∑X′P(Y|X′,Z)P(X′)P(Z|X)=∑ZP(Z|X)∑X′P(Y|X′,Z)P(X′)
∑ZP(Y|do(Z))P(Z|do(X))ZYP(Y|do(Z))XZXP(Z|do(X))
Por lo tanto, los dos ajustes le dan la misma distribución posterior a la intervención en este gráfico, como hemos mostrado.
Al volver a leer su pregunta, se me ocurrió que podría estar interesado en mostrar directamente que el lado derecho de las dos ecuaciones es igual en la distribución pre-intervencionista (que deben ser, dada nuestra derivación previa). Eso tampoco es difícil de mostrar directamente. Es suficiente mostrar eso en su DAG:
∑X′P(Y|Z,X′)P(X′)=∑UP(Y|Z,U)P(U)
Y⊥X|U,ZU⊥Z|X
∑X′P(Y|Z,X′)P(X′)=∑X′(∑UP(Y|Z,X′,U)P(U|Z,X′))P(X′)=∑X′(∑UP(Y|Z,U)P(U|X′))P(X′)=∑UP(Y|Z,U)∑X′P(U|X′)P(X′)=∑UP(Y|Z,U)P(U)
Por lo tanto:
∑ZP(Z|X)∑X′P(Y|X′,Z)P(X′)=∑ZP(Z|X)∑UP(Y|Z,U)P(U)=∑UP(U)∑ZP(Y|Z,U)P(Z|X)=∑UP(U)∑ZP(Y|Z,X,U)P(Z|X,U)=∑UP(Y|X,U)P(U)