¿Cuál es la diferencia entre linealmente dependiente y linealmente correlacionado?

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Explique cuál es la diferencia entre si dos variables son linealmente dependientes o linealmente correlacionadas .

Busqué el artículo de Wikipedia pero no obtuve un ejemplo adecuado. Por favor explícalo con un ejemplo.

correlation non-independent

— Mittal feliz
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Dos variables son linealmente dependientes si una puede escribirse como una función lineal de la otra. Si dos variables son linealmente dependientes, la correlación entre ellas es 1 o -1. Linealmente correlacionado solo significa que dos variables tienen una correlación distinta de cero pero no necesariamente tienen una relación lineal exacta. La correlación a veces se llama correlación lineal porque el coeficiente de correlación de momento del producto Pearson es una medida de la fuerza de la linealidad en la relación entre las variables.

— Michael R. Chernick
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+1. Sin embargo, prefiero decir el coef de Pearson. "es una medida de la fuerza de la relación lineal" en lugar deis a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns Ok, eso suena más apropiado.

— Michael R. Chernick

Quizás lugar de sería una mejor medida, ya que no necesitamos molestarnos con cerca de significa una relación lineal fuerte (aunque con pendiente negativa). Además, considere cuánta varianza se explica versus no se explica, y que no provoca que el estadístico gire volteretas y haga paradas de manos en celebración, mientras que es una evidencia mucho mejor de un resultado positivo (leído, publicable).

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Dilip Sarwate

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En la dependencia lineal implica que un vector es una función lineal del otro: Está claro a partir de esta definición que las dos variables se moverían en el paso de bloqueo, lo que implica una correlación de o dependiendo del valor de . Sin embargo, para comprender mejor las diferencias y conexiones entre los conceptos, creo que es beneficioso considerar la geometría involucrada. $\mathbf{R}^2$

v_{1} = a v_{2} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

El siguiente gráfico muestra un ejemplo de la fórmula para la dependencia lineal. Puede ver que los vectores son linealmente dependientes porque uno es simplemente un múltiplo del otro. ingrese la descripción de la imagen aquí

Esto contrasta con la independencia lineal, que en se describe mediante: para los vectoresUn ejemplo de independencia lineal se puede ver en el siguiente gráfico. $\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq a v_{2}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ ingrese la descripción de la imagen aquí

La versión más extrema de la independencia lineal es la ortogonalidad, definida para los vectores como: Cuando se grafica en , corresponde de ortogonalidad a los vectores y ser perpendiculares entre sí: $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T} v_{2} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Ahora, considere el coeficiente de correlación de Pearson:

ρ_{v_{1} v_{2}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T} (v_{2} - {\bar{v}}_{2} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

Tenga en cuenta que si los vectores y son ortogonales, entonces el numerador del coeficiente de Pearson es cero, lo que implica que las variables y no están correlacionadas. Esto ilustra una conexión interesante entre independencia lineal y correlación: la dependencia lineal entre las versiones centradas de las variables y corresponde a una correlación de o , no independencia lineal lineal entre las versiones centradas de y $(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ corresponde a una correlación entre y en valor absoluto, y la ortogonalidad entre las versiones centradas de y corresponde a una correlación de . $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

Por lo tanto, si dos vectores son linealmente dependientes, las versiones centradas de los vectores también serán linealmente dependientes, es decir, los vectores están perfectamente correlacionados. Cuando dos vectores linealmente independientes (ortogonales o no) están centrados, el ángulo entre los vectores puede cambiar o no. Por lo tanto, para vectores linealmente independientes, la correlación puede ser positiva, negativa o cero.

— tjnel
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Deje f (x) yg (x) ser funciones.

Para que f (x) yg (x) sean linealmente independientes, debemos tener

a * f (x) + b * g (x) = 0 si y solo si a = b = 0.

En otras palabras, no hay c tal que aob no sea cero pero

a * f (c) + b * g (c) = 0

Si existe tal ac, entonces decimos que f (x) yg (x) son linealmente dependientes.

p.ej

f (x) = sin (x) yg (x) = cos (x) son linealmente independientes

f (x) = sin (x) yg (x) = sin (2x) no son linealmente dependientes (¿Por qué?)

— usuario34832
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Con la definición que está usando allí, puede haber una tal que ; solo dependen linealmente si sucede para todas las en el dominio considerado; por ejemplo, considere su segundo ejemplo, con . (Además, creo que hay un problema con tu primer ejemplo)

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$

— Glen_b -Reinstate Monica el