¿Qué significa el álgebra

A menudo, en el curso de mi (auto-) estudio de estadística, conocí la terminología " álgebra generada por una variable aleatoria". No entiendo la definición en Wikipedia , pero lo más importante es que no tengo la intuición detrás de ella. ¿Por qué / cuándo necesitamos álgebras generadas por variables aleatorias? ¿Cuál es su significado? Sé lo siguiente: $\sigma$ $\sigma-$

un álgebra en un conjunto es una colección no vacía de subconjuntos de que contiene , se cierra bajo complemento y bajo unión contable. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$
introducimos álgebras para construir espacios de probabilidad en espacios de muestra infinitos. En particular, si es incontablemente infinito, sabemos que pueden existir subconjuntos inconmensurables (conjuntos para los cuales no podemos definir una probabilidad). Por lo tanto, no podemos utilizar el conjunto potencia de como nuestro conjunto de eventos . Necesitamos un conjunto más pequeño, que todavía sea lo suficientemente grande como para que podamos definir la probabilidad de eventos interesantes, y podamos hablar sobre la convergencia de una secuencia de variables aleatorias. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ $\mathcal{F}$

En resumen, creo que tengo una comprensión intuitiva justa de álgebras. Me gustaría tener una comprensión similar para la álgebras generadas por variables aleatorias: definición, ¿por qué los necesitamos, la intuición, un ejemplo ... $\sigma-$ $\sigma-$

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
fuente

Una caracterización efectiva (e intuitivamente significativa) es que este es el álgebra sigma más grueso en

que hace que la variable aleatoria sea medible.

Ω

$\Omega$

— whuber

@whuber más grueso significa más pequeño? En otras palabras, tengo mi espacio de probabilidad

, tengo un RV

(que se puede medir por definición de variable aleatoria), y

es el subconjunto más pequeño de

modo que

sigue siendo mensurable. Ok, pero esto plantea la pregunta de qué significa intuitivamente que

es medible :-) ¿Tendría sentido decir que podemos definir la probabilidad de todos los eventos del tipo

uniones / intersecciones?

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$

σ

$\sigma$

F

$\mathcal{F}$

X

$X$

X

$X$

a < X < b

$a\lt X \lt b$

— DeltaIV

Mirar una sola

a la vez ofrece poca intuición sobre la mensurabilidad. Este concepto se hace propio cuando se estudian colecciones de variables aleatorias: procesos estocásticos. A su vez, los procesos estocásticos más simples (como las caminatas aleatorias binomiales discretas finitas) proporcionan un entorno interpretable en el que el álgebra sigma generado por todas las variables

puede considerarse como "la información disponible hasta hasta (e incluyendo) el tiempo

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber lo siento, no entiendo :) Le agradecería si pudiera señalarme otra respuesta suya donde vaya más en detalle, o si desea ampliar esto como respuesta. De lo contrario, no se preocupe, tal vez no sé lo suficiente sobre los procesos estocásticos para entender su punto. Aunque ... necesito perfeccionar mis habilidades de la Red Bayesiana Dinámica, por lo que si esta intuición ayuda cuando trabajo en series de tiempo, estaría bastante interesado.

— DeltaIV

Ver stats.stackexchange.com/a/123754/919 . También podría ser útil stats.stackexchange.com/a/164995/919 y stats.stackexchange.com/a/74339/919 .

— whuber

$X$ $X$ $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R})$

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

$\mathcal{A}$

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

$\mathcal{\Sigma}$ $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ $\mathcal{\Sigma}$ $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$

$X$ $X(\omega) \equiv \alpha$ $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ $\Omega$ $\varnothing$ $\alpha \in B$ $\mathcal{A}$

Espero que esto ayude.

— JohnK
fuente

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

¡excelente! Muy claro. Deberías escribir un libro :)

— DeltaIV