Pruebas de nivel universitario del teorema de Pitman-Koopman-Darmois

El teorema de Pitman-Koopman-Darmois dice que si una muestra iid de una familia parametrizada de distribuciones de probabilidad admite una estadística suficiente cuyo número de componentes escalares no crece con el tamaño de la muestra, entonces es una familia exponencial.

¿Algún libro de texto o documentos expositivos elementales dan pruebas?
¿Por qué lleva el nombre de esas tres personas?

mathematical-statistics references

— Michael Hardy
fuente

La razón por la cual el Lemma se llama Pitman-Koopman-Darmois es, como era de esperar, que los tres autores establecieron versiones similares del lema, independientemente al mismo tiempo:

Darmois, G. (1935) Sur les lois de probabilité à estimación exhaustiva, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 200, 1265-1266.
Koopman, BO (1936) Sobre las distribuciones que admiten una estadística suficiente, Transacciones de la American Mathematical Society , vol. 39, N ° 3. [enlace]
Pitman, EJG (1936) Estadísticas suficientes y precisión intrínseca, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 32, 567-579.

siguiendo un resultado unidimensional en

Fisher, RA (1934) Dos nuevas propiedades de probabilidad matemática, Proceedings of the Royal Society , Series A, 144, 285-307.

$x$

— Xi'an
fuente

(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, x_{3}^{0})

$(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$

No es cierto que el jacobiano distinto de cero conduce a valores únicos globales en un dominio (múltiple) como se implica en el documento. Solo es cierto localmente. Además, la dimensionalidad se preserva no por el homeomorfismo como se afirma en la última oración de ese párrafo, sino por el diffeomorfismo local, que es el caso aquí.

— Hans