Expectativa "inesperada"

¿Puede alguno de nuestros expertos de Monte Carlo explicar la expectativa "inesperada" al final de esta respuesta ?

Resumen ex post facto de la otra pregunta / respuesta: si son variables aleatorias IID y las expectativas , entonces un argumento de simetría simple muestra que , pero un experimento de Monte Carlo con parece contradecir esta proposición.$X_1,\dots,X_n$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$$X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

La explicación a la evaluación de Monte Carlo de la relación tomando valores extraños es que la expectativa no existe. Como una transformación de un Cauchy en su ejemplo Normal . De hecho, que no es integrable en ya que es equivalente a .$\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$$X_1/X_2$

$$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$$ $y=-1$$(y+1)^{-1}$

Tenga en cuenta que no es una variante de Cauchy sino la transformación de una variante de Cauchy por la función La razón es que y que donde .$X_1/\bar{X}$

$$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$$ $$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$$ $$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$$ $Z\sim\text{N}(0,1)$

Tenga en cuenta que, a medida que crece hasta el infinito, converge en distribución a la variable aleatoria igual a con probabilidad .$n$$X_1/\bar{X}$$\pm \infty$$1/2$