¿Cuál es la expectativa de una variable aleatoria dividida por un promedio ?

Deje que sea IID y . Parece obvio, pero tengo problemas para derivarlo formalmente. $X_i$ $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$

mi [\frac{X_{yo}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$

probability random-variable expected-value

— stollenm
fuente

Deje que sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y defina $X_1,\dots,X_n$

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{norte}}{norte} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

Supongamos que . Dado que las están distribuidas de manera idéntica, la simetría nos dice que, para , las variables aleatorias (dependientes) tienen la misma distribución: Si existen las expectativas (este es un punto crucial), entonces y, para , tenemos $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{norte}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = \dots = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1}{n} (E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

Veamos si podemos verificar esto con el simple Monte Carlo.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Bien, y los resultados no cambian mucho bajo la repetición.

— zen
fuente

(+1) La conclusión de que no existe es cierta, pero requiere un argumento más sutil que cualquiera de los que ya ha vinculado, porque y no son independientes.

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber: ¿Puedes ampliar esto un poco, Bill? Mencioné la dependencia de y en uno de los comentarios a la pregunta vinculada. Además, la respuesta de Xi'an aborda el caso con una transformación simple. También dio la distribución de en uno de sus comentarios. Gracias por tus pensamientos sobre esto.

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar{X}$

n = 2

$n=2$

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$

— Zen

@whuber: Creo que mi explicación funciona ya que que es , es un Cauchy estándar. No hay dependencia involucrada.

X_{i} / \bar{X} = n / {1 + X_{2} / X_{1} + \dots + X_{n} / X_{1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$

Z

$Z$

— Xi'an

@ Xi'an: ¿utilizó aquí eso (considere el caso ), ya que y son Cauchy estándar, entonces también es Cauchy estándar? Pero eso no es cierto porque y no son independientes, ¿verdad?

n = 3

$n=3$

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$

(U + V) / 2

$(U+V)/2$

U

$U$

V

$V$

— Zen

@Zen: Sin embargo, y son variables normales independientes, por lo tanto es un Cauchy, si tiene una escala en lugar de .

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$

X_{1}

$X_1$

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

n - 1

$n-1$

— Xi'an