Una pregunta sobre los parámetros de distribución gamma en la econometría bayesiana

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El artículo de Wikipedia sobre la distribución Gamma enumera dos métodos de parametrización diferentes, uno de ellos utilizado con frecuencia en la econometría bayesiana con y , es parámetro de forma, es parámetro de velocidad. $\alpha>0$ $\beta>0$ $\alpha$ $\beta$

X \sim G a m m a (α, β) .

$X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha,\beta).$

En un libro de texto de econométrica bayesiano escrito por Gary Koop, el parámetro de precisión sigue una distribución Gamma, que es una distribución previa $\frac{1}{\sigma^2}=h$

h \sim G a m m a ({\underline{s}}^{- 2}, \underline{ν}),

$h\sim \mathrm{Gamma}(\underline{s}^{-2},\underline{\nu}),$

donde es malo y es grados de libertad de acuerdo con su Apéndice. También es un error estándar con definición $\underline{s}^{-2}$ $\underline{\nu}$ $s^2$

s^{2} = \frac{\sum (y_{i} - \hat{β} x_{i})}{ν} .

$s^2=\frac{\sum(y_i-\hat{\beta}x_i)}{\nu}.$

Por lo tanto, para mí, estas dos definiciones de la distribución Gamma son completamente diferentes, ya que la media y las variaciones serán diferentes. Si seguimos la definición de Wikipedia, la media será , no . $\alpha/\beta$ $\underline{s}^{-2}$

Estoy muy confundido aquí, ¿alguien me ayudaría a aclarar los pensamientos aquí?

— Cerdo volador
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Creo que confunde: es la desviación estándar estimada de los datos, no la desviación estándar de la distribución Gamma. Y debería ser el posterior, no el anterior.

s^{2}

$s^2$

— Stéphane Laurent

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El Gamma, desafortunadamente, no tiene una única parametrización estándar. Algunas veces un Gamma (a, b) tiene una media , algunas veces significa , y otras significa con el parámetro de forma . (Esta no es una lista completa). Todos son equivalentes, por ejemplo, la en el segundo caso es igual a la inversa de la en el primer caso. Por lo tanto, debe prestar especial atención a cómo se escribe la función de densidad para ver qué parametrización se está utilizando.

a b

$ab$

a / b

$a/b$

a

$a$

b

$b$

b

$b$

b

$b$

— jbowman

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Para cualquiera que todavía esté luchando con la terrible notación de Koops: el problema es que Koop no usa ni la escala ni la parametrización de velocidad , sino más bien una parametrización de "grados medios de libertad" (ver Apéndice, Def. B. 22). La distribución de en una parametrización adecuada (forma, velocidad) es, por lo tanto, usando Notación de Koops para los parámetros. $h$

h \sim Gamma (s h a p e = \underline{ν} / 2, r a t e = {\underline{ν s}}^{2} / 2)

$h \sim \text{Gamma}(shape = \underline{\nu}/2 , rate = \underline{\nu s}^2 / 2)$

— thematthiaz
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Creo que el artículo de Wikipedia se refiere a una forma específica de la distribución gamma conocida como . Chi cuadrado es y sería la constante por la que se multiplica la variable aleatoria para obtener una variable aleatoria con la distribución de una estimación de la varianza. Eso es y . Es s ese es el error estándar y no . En el artículo al que se refirió, el aparece en casos especiales (segunda viñeta). $\chi^2$ $\rm{Gamma}(\nu,1/2)$ $s^2$ $\chi^2$ $\alpha=\nu$ $\beta=1/2$ $s^2$ $\chi^2$

— Michael R. Chernick
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Es costumbre imponer (como antes) la distribución gamma a o la distribución gamma inversa a . Entonces, el posteior tendrá un aspecto hermoso. Creo que puede asignar una distribución gamma a , y aún así todos los cálculos para derivar el marginal integrando out pasarán. $h=\frac{1}{\sigma^2}$ $\sigma^2$ $\sigma^2$ $\sigma^2$

— Ikuyasu
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