Confusión sobre kriging

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Estaba leyendo este artículo de Wikipedia relacionado con kriging. No entendí la parte cuando dice que

Kriging calcula el mejor estimador insesgado , de de tal manera que Kriging varianza de se reduce al mínimo con la condición insesgamiento. No obtuve la derivación y también cómo se minimiza la varianza. ¿Alguna sugerencia? $\hat Z (x_0)$ $Z(x_0)$

Especialmente, no obtuve la parte donde se aplica minimizado sujeto a la condición de imparcialidad.

Creo que debería haber sido

E [Z '(x0) -Z (x0)] en lugar de E [Z' (x) -Z (x)] no lo es. 'es equivalente a hat en el artículo wiki. Además, no entendí cómo se deriva el error de kriging

interpolation

— usuario31820
fuente

¿Dónde te cuelgas en la derivación?

— whuber

La parte donde calcula el error de kriging e impone la condición de imparcialidad. Está bien decir que condición imparcial significa que la expectativa del estimador y la verdadera es igual. He editado la publicación para incluir los detalles.

— user31820

E [Z^{'} (x_{0}) - Z (x_{0})]

$E[Z'(x_0)-Z(x_0)]$

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$\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$ $(\mu, \mu, \ldots, \mu)$ $\Sigma$ $\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$ $\lambda_i$ $\Sigma$

$\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

$\hat{Z_0}$ $\mu$

Escribir cosas da información sobre los coeficientes:

\begin{aligned} μ & = E [\hat{Z_{0}}] = E [λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n}] \\ = λ_{1} E [Z_{1}] + λ_{2} E [Z_{2}] + \dots + λ_{n} E [Z_{n}] \\ = λ_{1} μ + \dots + λ_{n} μ \\ = (λ_{1} + \dots + λ_{n}) μ . \end{aligned}

$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$

$\mu$ $\lambda = (\lambda_i)'$ $\mathbf{1}\lambda=1$

Entre el conjunto de todos estos predictores lineales insesgados, buscamos uno que se desvíe lo menos posible del valor real , medido en el cuadrado medio de la habitación. Esto, nuevamente, es un cálculo. Se basa en la bilinealidad y la simetría de la covarianza, cuya aplicación es responsable de las sumas en la segunda línea:

\begin{aligned} E [(\hat{Z_{0}} - Z_{0})^{2}] & = E [(λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n} - Z_{0})^{2}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} λ_{j} var [Z_{i}, Z_{j}] - 2 \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} var [Z_{i}, Z_{0}] + var [Z_{0}, Z_{0}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} λ_{j} Σ_{i, j} - 2 \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} Σ_{0, i} + Σ_{0, 0} . \end{aligned}

$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$

$\mathbf{1}\lambda=1$

$Z$ $\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$ $Z$ $\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$ $Z_i = Z(\mathbf{x_i})$ $n+1$ $\mathbf{x_i}$ $n+1$

$\sigma_{OK}^2$ $\Sigma$ $\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$ $z_0$

En promedio, nuestras predicciones serían correctas.
$z_0$ $\sigma_{OK}$ $z_0$

Se necesita decir mucho más antes de que esto pueda aplicarse a situaciones prácticas como estimar una superficie a partir de datos puntuales: necesitamos suposiciones adicionales sobre cómo las características estadísticas del proceso espacial varían de un lugar a otro y de una realización a otra (aunque , en la práctica, generalmente solo estará disponible una realización). Pero esta exposición debería ser suficiente para seguir cómo la búsqueda de un "mejor" predictor lineal imparcial ("BLUP") conduce directamente a un sistema de ecuaciones lineales.

$\Sigma$ $\Sigma$ $\Sigma$ y prediciendo una colección de valores en ubicaciones desconocidas. Requieren supuestos ligeramente más fuertes (normalidad multivariada) para lograr esta hazaña.

— whuber
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Hay un sitio web por ahí donde ellos gritan contra kriging y parece que tiene algunos puntos válidos. Creo que tu párrafo final aquí es muy esclarecedor.

— Wayne

@Wayne Sí, puedes decir a qué estoy reaccionando. Pero aunque los consultores han utilizado el kriging como "aceite de serpiente", tiene mucho que ofrecer, incluida una teoría del "cambio de soporte" para comparar los datos obtenidos de (digamos) pequeñas muestras de un medio con datos obtenidos de mucho más grande. porciones de ese medio. Kriging finalmente está en la parte inferior del modelo espacio-temporal más sofisticado de la actualidad. También es una forma útil de evaluar propuestas alternativas: por ejemplo, muchos interpoladores espaciales son lineales (o pueden linealizarse), por lo que es justo comparar su varianza de estimación con la de kriging.

— whuber

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Kriging es simplemente una estimación de mínimos cuadrados para datos espaciales. Como tal, proporciona un estimador lineal imparcial que minimiza la suma de los errores al cuadrado. Como es imparcial, el MSE = la varianza del estimador y es un mínimo.

— Michael R. Chernick
fuente

No obtuve la parte que calcula el error de kriging. También estoy confundido con la varianza y la varianza de kriging. ¿Cuál es la diferencia y cuál es su significado

— User31820

@whuber. Gracias por la explicación, pero no obtuve la derivación de la ecuación cuando calculó el MSE del valor predicho por la estimación imparcial y el estimador verdadero. La segunda línea para ser específica en esa ecuación

— user31820

@whuber Además, no obtuve la parte wiki cuando calcula la varianza de kriging que es similar a la de tu respuesta. Tienen los mismos resultados pero los términos iniciales son diferentes. ¿Cómo?

— user31820