Obtenga distribución conjunta de la distribución marginal por pares

Supongamos que tenemos 3 variables aleatorias , y conocemos la distribución marginal por pares , pero no sabemos nada más (como como independencia condicional). ¿Podemos obtener la distribución conjunta ? $X_1,X_2,X_3$ $P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$ $P(X_1,X_2,X_3)$

probability distributions

— starry1990
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No.

Considere una distribución trivariada con márgenes normales bivariados (estándar, independientes), pero con la mitad de los octantes con probabilidad 0 y la mitad con probabilidad doble. Específicamente, considere octantes ---, - ++, + - +, ++ - tienen doble probabilidad.

Luego, los márgenes bivariados son indistinguibles del que obtendría con tres variables normales estándar iid. De hecho, hay una infinidad de distribuciones trivariadas que producirían los mismos márgenes bivariados.

Como Dilip Sawarte señala en los comentarios, ha discutido esencialmente el mismo ejemplo en una respuesta (pero invirtiendo los octantes que se duplican y se ponen a cero), y lo define de una manera más formal. Whuber menciona un ejemplo que involucra variantes de Bernoulli que (en el caso trivariado) se ve así:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... donde estaría cada margen bivariado

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4

y entonces sería equivalente al caso de tres variantes independientes (o de hecho a tres con exactamente la forma inversa de dependencia).

Un ejemplo estrechamente relacionado sobre el que comencé a escribir inicialmente involucraba un uniforme trivariado con "cortes" alternos en un patrón de tablero de ajedrez de mayor y menor probabilidad (generalizando el cero y el doble habituales).

Por lo tanto, no puede calcular el trivariado de los márgenes bivariados en general.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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+1. Otro ejemplo estándar, el más simple posible y estrechamente relacionado con el suyo, es permitir que sea una variable independiente de Bernoulli . La distribución completa se puede tabular ya que solo hay ocho resultados equiprobables. Sus marginales y marginales por pares son los mismos después de condicionar que tenga un número par de ceros (simplemente tache las otras filas de la tabla y duplique todas sus probabilidades), pero las dos distribuciones conjuntas obviamente difieren.

X_{i}

$X_i$

(1 / 2)

$(1/2)$

X_{i}

$X_i$

— whuber

+1 La distribución trivariada está escrita en detalle en esta respuesta mía, excepto que usé los octantes lugar. Está, por supuesto, relacionado con las variables aleatorias de Bernoulli mencionadas por @whuber, cuyo ejemplo se remonta a Bernstein, creo.

+ + +, + - -, - + -, - - +

$+++, +--, -+-, --+$

— Dilip Sarwate

Pero, en casos menos artificiales, ¿podrían establecerse algunos límites?

— kjetil b halvorsen

Tiene que haber una solución de cópula aquí. El teorema de Sklar tiene prórroga al caso n-dimensional, y hay que tener sólo marginales, no los marginales de dos variables que tienen más información

— Aksakal

Aksakal La cópula misma especifica completamente la estructura de dependencia, no los marginales. El hecho de que puede mantener los márgenes pero cambiar la cópula es una versión más simple del mismo problema aquí.

— Glen_b -Reinstate Monica