¿Podemos concluir de que son independientes?

Bueno, no podemos, ver por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence para un contraejemplo interesante. Pero la verdadera pregunta es: ¿hay alguna forma de fortalecer la condición para que siga la independencia? Por ejemplo, ¿hay algún conjunto de funciones modo que si para todo entonces, la independencia siga? Y, ¿qué tan grande debe ser tal conjunto de funciones, infinito? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

Y, además, ¿hay alguna buena referencia que trate esta pregunta?

— kjetil b halvorsen
fuente

¿Has tenido suerte con esto? Me encantaría ver si hay un conjunto finito de funciones que funcione para cualquier par de vehículos recreativos, y especialmente la justificación es algo más que la factorización de CDF

— jld

¡Lo investigaré! Dudo que haya en general un conjunto finito, pero cualquier conjunto que sea la base de un conjunto lineal de funciones debería funcionar (por ejemplo, si ambos tienen valores en entonces un conjunto de polinomios linealmente independientes (u otras funciones) que debería hacer

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— kjetil b halvorsen

Sea un espacio de probabilidad. Por definición, dos variables aleatorias son independientes si sus álgebras y son independientes, es decir, tenemos . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Deje y tome (gracias a @grand_chat por señalar que suficiente). Entonces tenemos y $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Si suponemos que entonces podemos recurrir a la teorema para demostrar que es decir . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Entonces, a menos que haya cometido un error, al menos tenemos una colección contable de tales funciones y esto se aplica a cualquier par de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad común.

— jld
fuente

¿Qué has mostrado, en realidad? Aunque ha definido una colección incontable de funciones, ¿dónde ha demostrado que todas son necesarias? Es difícil imaginar que tal cantidad de funciones sería necesaria cuando e tienen cada uno conjuntos finitos de valores posibles, por ejemplo.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber estaba intentando responder la pregunta sobre si existe o no tal colección de funciones. Estoy de acuerdo en que el aspecto más interesante es encontrar un tal conjunto mínimo (que todavía estoy trabajando)

— JLD

Puede reducir a un conjunto contable considerando solo racional .

G

$G$

a

$a$

— grand_chat

@grand_chat gran punto, he actualizado

— jld