Las paradojas aparentes (de lógica o probabilidad) pueden resolverse enmarcando las preguntas de manera clara y cuidadosa.
El siguiente análisis está motivado por la idea de defender una respuesta: cuando un examinado puede exhibir un posible estado de cosas (consistente con toda la información disponible) en el que su respuesta es correcta, entonces debe marcarse como correcta. De manera equivalente, una respuesta es incorrecta cuando no existe tal defensa; se considera correcto de lo contrario. Esto modela las interacciones habituales entre calificadores (benevolentes, racionales) y examinadores (racionales) :-). La aparente paradoja se resuelve exhibiendo múltiples defensas para la segunda pregunta, solo una de las cuales podría aplicarse en cualquier caso.
Tomaré el significado de "aleatorio" en estas preguntas en un sentido convencional: para modelar una elección aleatoria de respuesta, escribiré cada respuesta en un trozo de papel ("ticket") y la pondré en un recuadro: eso será Cuatro entradas en total. Sacar un boleto de la caja (después de barajar cuidadosamente y ciegamente el contenido de la caja) es un modelo físico para una elección "aleatoria". Motiva y justifica un modelo de probabilidad correspondiente .
Ahora, ¿qué significa "ser correcto"? En mi ignorancia, exploraré todas las posibilidades. En cualquier caso, considero definitivo que cero, uno o incluso más boletos pueden ser "correctos". (¿Cómo podría saberlo? ¡Simplemente consulto la hoja de calificación!) Marcaré las respuestas "correctas" como tales escribiendo el valor en cada boleto correcto y escribiendo en las demás. Eso es rutina y no debería ser controvertido.10
Una cosa obvia pero importante a tener en cuenta es que la regla para escribir o debe basarse únicamente en la respuesta escrita en cada ticket: matemáticamente, es un mapeo (o reasignación) que envía el conjunto de respuestas enumeradas ( en ambas preguntas) en el conjunto . Esta regla es necesaria para la autoconsistencia.01{.25,.50,.60}{0,1}
Pasemos al elemento probabilístico de la pregunta: por definición, la posibilidad de ser correcta, bajo un sorteo aleatorio de tickets, es la expectativa de los valores con los que se han marcado. La expectativa se calcula sumando los valores en los tickets y dividiéndolos por su número total. Por lo tanto, será , , , o .0.25.50.751
Una marca tendrá sentido siempre que solo los tickets cuyas respuestas sean iguales a la expectativa estén marcados con s1 . Este también es un requisito de autoconsistencia. Afirmo que este es el quid de la cuestión: encontrar e interpretar las marcas que tienen sentido. Si no hay ninguno, entonces la pregunta en sí misma puede ser calificada como sin sentido. Si hay una marca única, entonces no habrá controversia. Solo si dos o más marcas tienen sentido, habrá alguna dificultad potencial.
¿Qué marcas tienen sentido?
Ni siquiera necesitamos hacer una búsqueda exhaustiva. En la primera pregunta , las expectativas enumeradas en los boletos son del 25%, 50% y 60%. Esto último es imposible con cuatro boletos. El primero requeriría exactamente un boleto para ser marcado; el segundo, dos entradas. Eso da como máximo posibles marcas para explorar. La única marca que tiene sentido pone s en cada ticket. Para esta marca, la expectativa es . Eso justifica la respuesta declarada a la primera pregunta. (¡Podría decirse que la única respuesta correcta a la primera pregunta es no seleccionar ninguna respuesta!)3+3=60(0+0+0+0)/4=0
En la segunda pregunta , aparecen las mismas respuestas y una vez más hay seis marcas para explorar. Esta vez, tres marcas son autoconsistentes. Los tabulo:
Solution 1 Solution 2 Solution 3
Ticket Answer Mark Ticket Answer Mark Ticket Answer Mark
A 50% 1 A 50% 0 A 50% 0
B 25% 0 B 25% 1 B 25% 0
C 60% 0 C 60% 0 C 60% 0
D 50% 1 D 50% 0 D 50% 0
Por lo tanto, hay tres posibles definiciones distintas de "correcto" en el segundo problema, lo que lleva a que A o D sean correctas (en la solución 1) o que solo B sea correcta (en la solución 2), o que ninguna de las respuestas sea correcta (en solución 3).
Una forma de interpretar este estado de cosas es que para cada una de las respuestas A, B y D, existe al menos una forma de marcar los tickets que hace que esas respuestas sean correctas. Esto no implica que los tres sean simultáneamente correctos: no podrían serlo, porque . Si usted fuera el calificador de la prueba, entonces si marcó correctamente A, B o D, entonces no obtendría un argumento del examinado; pero si marcó alguno de ellos incorrecto,.25≠.50 el examinado tendrá una base legítima para disputar su puntaje: invocará la solución 1 o la solución 2. De hecho, si un examinado se niega a responder la pregunta, la solución 3 le dará una base legítima para argumentar que no ¡La respuesta también debería obtener crédito completo!
En resumen, este análisis aborda la segunda parte de la pregunta al concluir que cualquiera de las siguientes respuestas a la pregunta 2 debe marcarse como correcta porque cada una de ellas es defendible : A, B, D, A y D, y nada. No se puede defender ninguna otra respuesta y, por lo tanto, no sería correcta.