¿Cómo podemos vincular la probabilidad de que una variable aleatoria sea máxima?

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ Supongamos que tenemos variables aleatorias independientes , , con medios finitos y varianzas , , . Estoy buscando límites sin distribución en la probabilidad de que cualquier sea mayor que el resto de , . $N$ $X_1$ $\ldots$ $X_n$ $\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_N$ $\sigma_1^2$ $\ldots$ $\sigma_N^2$ $X_i \neq X_N$ $X_j$ $j \neq i$

En otras palabras, si por simplicidad asumimos que las distribuciones de $X_i$ son continuas (tal que $\P(X_i = X_j) = 0$ ), estoy buscando límites en:

PAGS (X_{yo} = max_{j} X_{j}) .

$\P( X_i = \max_j X_j ) \enspace.$ Si

N = 2

$N=2$ , podemos usar la desigualdad de Chebyshev para obtener:

PAGS (X_{1} = max_{j} X_{j}) = PAGS (X_{1} > X_{2}) \leq \frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}} .

$\P(X_1 = \max_j X_j) = \P(X_1 > X_2) \leq \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2} \enspace.$ Me gustaría encontrar algunos límites simples (no necesariamente ajustados) para el

general

N

$N$ , pero no he podido encontrar resultados (estéticamente) agradables para el

general

N

$N$ .

Tenga en cuenta que no se supone que las variables sean iid. Cualquier sugerencia o referencia al trabajo relacionado es bienvenida.

Actualización: recuerde que por suposición, $\mu_j \geq \mu_i$ . Entonces podemos usar el límite anterior para llegar a:

PAGS (X_{yo} = max_{j} X_{j}) \leq min_{j > yo} \frac{σ_{yo}^{2} + σ_{j}^{2}}{σ_{yo}^{2} + σ_{j}^{2} + (μ_{j} - μ_{yo})^{2}} \leq \frac{σ_{yo}^{2} + σ_{norte}^{2}}{σ_{yo}^{2} + σ_{norte}^{2} + (μ_{norte} - μ_{yo})^{2}} .

$\P(X_i = \max_j X_j) \leq \min_{j > i} \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{\sigma_i^2 + \sigma_j^2 + (\mu_j - \mu_i)^2} \leq \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \enspace.$ Esto implica:

(μ_{norte} - μ_{yo}) PAGS (X_{yo} = max_{j} X_{j}) \leq (μ_{norte} - μ_{yo}) \frac{σ_{yo}^{2} + σ_{norte}^{2}}{σ_{yo}^{2} + σ_{norte}^{2} + (μ_{norte} - μ_{yo})^{2}} \leq \frac{1}{2} \sqrt{σ_{yo}^{2} + σ_{norte}^{2}} .

$( \mu_N - \mu_i ) \P( X_i = \max_j X_j ) \leq (\mu_N - \mu_i) \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_i^2 + \sigma_N^2 } \enspace.$ Esto, a su vez, implica:

\sum_{yo = 1}^{norte} μ_{yo} PAGS (X_{yo} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{norte} - \frac{norte}{2} \sqrt{\sum_{yo = 1}^{norte - 1} (σ_{yo}^{2} + σ_{norte}^{2})} .

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \frac{N}{2} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N-1} (\sigma_i^2 + \sigma_N^2) } \enspace.$ Ahora estoy preguntando si esta ligado puede ser mejorada a algo que no depende linealmente de

N

$N$ . Por ejemplo, se cumple lo siguiente:

\sum_{yo = 1}^{norte} μ_{yo} PAGS (X_{yo} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{norte} - \sqrt{\sum_{yo = 1}^{norte} σ_{yo}^{2}} ?

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 } \enspace?$ Y si no, ¿qué podría ser un contraejemplo?

probability bounds maximum

— MLS
fuente

Esta cota pueden ser más estrictas si se utiliza el índice que proporciona la menor cota superior en lugar de . Tenga en cuenta que este valor depende tanto de la media como de la varianza.

j

$j$

N

$N$

@MichaelChernick: No creo que eso sea correcto. Supongamos, por ejemplo, que tenemos tres distribuciones uniformes en . Entonces, si no me equivoco, , mientras que . No sé si escribir , pero el mismo ejemplo muestra que todavía no es válido.

[0, 1]

$[0,1]$

P (X_{1} < max_{j} X_{j}) = 2 / 3

$P( X_1 < \max_j X_j ) = 2/3$

P (X_{1} < X_{2}) = P (X_{1} < X_{3}) = 1 / 2

$P(X_1 < X_2) = P(X_1 < X_3) = 1/2$

P (X_{i} > max_{j} X_{j})

$P( X_i > \max_j X_j )$

— MLS

@ Michael: Eso todavía no es cierto, desafortunadamente. Los eventos para el fijo no son independientes.

A_{j} = {X_{i} > X_{j}}

$A_j = \{X_i > X_j\}$

i

$i$

— cardenal

@cardinal: Entre otras cosas, está relacionado con bandidos con múltiples brazos. Si elige un brazo en función de las recompensas anteriores, ¿qué tan grande es la probabilidad de que haya elegido el mejor brazo (que sería en la notación anterior), y podemos limitar la pérdida esperada por elegir un sub -brazo óptimo?

P (X_{N} = max_{j} X_{j})

$P(X_N = \max_j X_j)$

— MLS

Crossposted to MathOverflow: mathoverflow.net/questions/99313

— cardenal

Respuestas:

Puede usar la desigualdad multivariada de Chebyshev.

Caso de dos variables

Para una situación única, vs , llego a la misma situación que el comentario de Jochen el 4 de noviembre de 2016 $X_1$ $X_2$

1) Si entonces $\mu_1 < \mu_2$ $P(X_1>X_2) \leq (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

(y también me pregunto acerca de tu derivación)

Derivación de la ecuación 1

usando la nueva variable $X_1-X_2$
transformándolo de modo que tenga la media en cero
tomando el valor absoluto
aplicando la desigualdad de Chebyshev

\begin{matrix} PAGS (X_{1} > X_{2}) & = PAGS (X_{1} - X_{2} > 0 0) \\ = PAGS (X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) > - (μ_{1} - μ_{2})) \\ \leq PAGS (El | X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) El | > μ_{2} - μ_{1}) \\ \leq \frac{σ_{(X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}))}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} = \frac{σ_{X_{1}}^{2} + σ_{X_{2}}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} \end{matrix}

$\begin{array} \\ P \left( X_1 > X_2 \right) &= P \left( X_1 - X_2 > 0 \right)\\ &= P\left( X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) > - (\mu_1 - \mu_2)\right) \\ &\leq P\left( \vert X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) \vert > \mu_2 - \mu_1\right) \\ &\leq \frac{\sigma_{(X_1-X_2- (\mu_1 - \mu_2))}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2} = \frac{\sigma_{X_1}^2+\sigma_{X_2}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2}\\ \end{array}$

Caso multivariante

La desigualdad en la ecuación (1) se puede cambiar a un caso multivariado al aplicarla a múltiples variables transformadas para cada (tenga en cuenta que están correlacionadas). $(X_n-X_i)$ $i<n$

I. Olkin y JW Pratt han descrito una solución a este problema (multivariante y correlacionado). 'Una desigualdad de Tchebycheff multivariante' en Annals of Mathematical Statistics, volumen 29 páginas 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

Note el teorema 2.3

$P(\vert y_i \vert \geq k_i \sigma_i \text{ for some } i) = P(\vert x_i \vert \geq 1 \text{ for some } i) \leq \frac{(\sqrt{u} + \sqrt{(pt-u)(p-1)})^2}{p^2}$

en el que el número de variables, , y . $p$ $t=\sum k_i^{-2}$ $u=\sum \rho_{ij}/(k_ik_j)$

El teorema 3.6 proporciona un límite más estricto, pero es menos fácil de calcular.

Editar

Se puede encontrar un límite más agudo utilizando la desigualdad multivariada de Cantelli . Esa desigualdad es el tipo que usó antes y le proporcionó el límite que es más nítido que . $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1-\mu_2)^2)$ $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

No me he tomado el tiempo de estudiar todo el artículo, pero de todos modos, puedes encontrar una solución aquí:

AW Marshall e I. Olkin 'Una desigualdad unilateral del tipo Chebyshev' en Annals of Mathematical Statistics volumen 31 págs. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

(nota posterior: esta desigualdad es para correlaciones iguales y no ayuda suficiente. Pero de todos modos su problema, para encontrar el límite más agudo, es igual a la desigualdad de Cantelli, más general y multivariante. Me sorprendería si la solución no existe)

— Sexto Empírico
fuente

¿Podría proporcionar una declaración clara de la desigualdad multivariada de Chebyshev?

— whuber

He editado la solución proporcionando el teorema completo.

— Sextus Empiricus

-1

He encontrado un teorema que podría ayudarte y trataré de ajustarlo a tus necesidades. Suponga que tiene:

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i}))

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i}))$

Luego, por la desigualdad de Jensen (ya que exp (.) Es una función convexa), obtenemos:

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) \leq E (e x p (t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) = E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} e x p (t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i = 1}^{n} E (e x p (t \cdot X_{i})

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) \leq \mathbf{E}(exp( t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) = \mathbf{E}( \underset{1 \leq i \leq n}{max} \text{ }exp( t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (exp(t \cdot X_{i})$

Ahora para tienes que enchufar en cualquier momento que sea la función generadora de tu variable aleatoria (ya que es solo la definición de mgf). Luego, después de hacerlo (y potencialmente simplificando su término), tome este término y tome el registro y divídalo entre t para obtener una declaración sobre el término . Entonces puede elegir t con algún valor arbitrario (mejor para que el término sea pequeño y el límite sea ajustado). $exp(t \cdot X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})$

Luego, tiene una declaración sobre el valor esperado del máximo sobre n rvs. Para obtener ahora una declaración sobre la probabilidad de que el máximo de esos rv se desvíe de este valor esperado, puede usar la desigualdad de Markov (suponiendo que su rv no es negativo) u otro rv más específico, que se aplica a su rv particular.

— Fabian Falck
fuente