¿Cuándo falla la ley de los grandes números?


Respuestas:


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Hay dos teoremas (de Kolmogorov) y ambos requieren que el valor esperado sea finito. El primero se cumple cuando las variables son IID, el segundo, cuando el muestreo es independiente y la varianza de la Xn satisface

n=1V(Xn)n2<

Digamos que todas las tienen el valor esperado 0, pero su varianza es n 2, por lo que la condición obviamente falla. ¿Qué pasa entonces? Todavía puede calcular una media estimada, pero esa media no tenderá a 0 a medida que muestrea más y más profundo. Tiende a desviarse más y más a medida que continúe el muestreo.Xnn2

Pongamos un ejemplo. Digamos que es uniforme U ( - n 2 n , n 2 n ) de modo que la condición anterior falla épicamente.XnU(n2n,n2n)

n=1V(Xn)n2=n=1n222n+2121n2=13n=14n=.

Al notar eso

X¯n=Xnn+n1nX¯n1,

vemos por inducción que el promedio calculado siempre está dentro del intervalo ( - 2 n , 2 n ) . Mediante el uso de la misma fórmula para n + 1 , también vemos que siempre hay una mayor probabilidad de 1 / 8 que ˉ X n + 1 se encuentra fuera de ( - 2 n , 2 n ) . De hecho, X n + 1X¯n(2n,2n)n+11/8X¯n+1(2n,2n) es uniformeU(-2n+1,2n+1)y la mentira fuera(-2n,2n)con una probabilidad de1/4. Por otro lado,nXn+1n+1U(2n+1,2n+1)(2n,2n)1/4es en(-2n,2n)por inducción, y por simetría es positivo con probabilidad1/2. De estas observaciones se deduce inmediatamente que ˉ X n+1es mayor que2no menor que-2n, cada uno con una probabilidad más grande que1/16. Desde la probabilidad de que| ˉ X n+1| >nn+1X¯n(2n,2n)1/2X¯n+12n2n1/16 es mayor que 1 / 8 , no puede haber convergencia a 0 como n tiende a infinito.|X¯n+1|>2n1/8n

Ahora, para responder específicamente a su pregunta, considere un evento . Si entendí bien, me preguntas "¿en qué condiciones es falsa la siguiente afirmación?"A

limn1nk=1n1A(Xk)=P(XA),[P]a.s.

donde es la función indicadora del evento A , es decir , 1 A ( X k ) = 1 si X kA y 0 de lo contrario y X k están distribuidos de manera idéntica (y distribuidos como X ).1AA 1A(Xk)=1XkA0XkX

Vemos que la condición anterior se mantendrá, porque la varianza de una función indicadora está limitada por 1/4, que es la varianza máxima de una variable de Bernouilli 0-1. Aún así, lo que puede salir mal es la segunda suposición de la ley fuerte de los grandes números, es decir, el muestreo independiente . Si las variables aleatorias no se muestrean independientemente, entonces no se garantiza la convergencia.Xk

XkX1knA


Un comentario. En wikipedia (página lnl) he leído que la no finitud de la varianza solo desacelera la convergencia del valor medio. ¿Es diferente de lo que dices?
emanuele

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¿Están ustedes dos discutiendo la misma ley? La pregunta se refiere a las frecuencias de los eventos, mientras que esta respuesta parece centrarse en la distribución muestral de una media . Aunque hay una conexión, aún no ha aparecido explícitamente aquí hasta donde puedo decir.
whuber

@whuber Verdadero. Me centré demasiado en el título de la pregunta. Gracias por señalar Actualicé la respuesta.
gui11aume

@ gui11aume no entiendo "Vemos que la condición anterior se mantendrá, porque la varianza de una función de indicador está limitada por 1/4". ¿Qué significa?
emanuele

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Si están distribuidos de manera idéntica, pero no son independientes, el límite en cuestión puede no existir en absoluto.
Cardenal
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