Respuestas:
Hay dos teoremas (de Kolmogorov) y ambos requieren que el valor esperado sea finito. El primero se cumple cuando las variables son IID, el segundo, cuando el muestreo es independiente y la varianza de la satisface
Digamos que todas las tienen el valor esperado 0, pero su varianza es n 2, por lo que la condición obviamente falla. ¿Qué pasa entonces? Todavía puede calcular una media estimada, pero esa media no tenderá a 0 a medida que muestrea más y más profundo. Tiende a desviarse más y más a medida que continúe el muestreo.
Pongamos un ejemplo. Digamos que es uniforme U ( - n 2 n , n 2 n ) de modo que la condición anterior falla épicamente.
Al notar eso
vemos por inducción que el promedio calculado siempre está dentro del intervalo ( - 2 n , 2 n ) . Mediante el uso de la misma fórmula para n + 1 , también vemos que siempre hay una mayor probabilidad de 1 / 8 que ˉ X n + 1 se encuentra fuera de ( - 2 n , 2 n ) . De hecho, X n + 1 es uniformeU(-2n+1,2n+1)y la mentira fuera(-2n,2n)con una probabilidad de1/4. Por otro lado,nes en(-2n,2n)por inducción, y por simetría es positivo con probabilidad1/2. De estas observaciones se deduce inmediatamente que ˉ X n+1es mayor que2no menor que-2n, cada uno con una probabilidad más grande que1/16. Desde la probabilidad de que| ˉ X n+1| > es mayor que 1 / 8 , no puede haber convergencia a 0 como n tiende a infinito.
Ahora, para responder específicamente a su pregunta, considere un evento . Si entendí bien, me preguntas "¿en qué condiciones es falsa la siguiente afirmación?"
donde es la función indicadora del evento A , es decir , 1 A ( X k ) = 1 si X k ∈ A y 0 de lo contrario y X k están distribuidos de manera idéntica (y distribuidos como X ).
Vemos que la condición anterior se mantendrá, porque la varianza de una función indicadora está limitada por 1/4, que es la varianza máxima de una variable de Bernouilli 0-1. Aún así, lo que puede salir mal es la segunda suposición de la ley fuerte de los grandes números, es decir, el muestreo independiente . Si las variables aleatorias no se muestrean independientemente, entonces no se garantiza la convergencia.