La operación del azar en un mundo determinista.

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En el libro de Steven Pinker Better Angels of Our Nature , señala que

La probabilidad es una cuestión de perspectiva. Visto a una distancia suficientemente cercana, los eventos individuales tienen causas determinadas. Incluso se puede predecir un lanzamiento de moneda a partir de las condiciones iniciales y las leyes de la física, y un mago experto puede explotar esas leyes para lanzar cabezas cada vez. Sin embargo, cuando nos alejamos para tener una visión gran angular de una gran cantidad de estos eventos, estamos viendo la suma de una gran cantidad de causas que a veces se cancelan entre sí y otras se alinean en la misma dirección. El físico y filósofo Henri Poincare explicó que vemos la operación del azar en un mundo determinista, ya sea cuando una gran cantidad de causas insignificantes se suman a un efecto formidable, o cuando una pequeña causa que escapa a nuestra atención determina un gran efecto que no podemos perder. .En el caso de la violencia organizada, alguien puede querer comenzar una guerra; él espera el momento oportuno, que puede o no llegar; su enemigo decide atacar o retirarse; las balas vuelan; explotaron las bombas; La gente muere. Cada evento puede ser determinado por las leyes de neurociencia y física y fisiología. Pero en conjunto, las muchas causas que intervienen en esta matriz a veces se pueden mezclar en combinaciones extremas. (pág. 209)

Estoy particularmente interesado en la oración en negrita, pero doy el resto por contexto. Mi pregunta: ¿hay formas estadísticas de describir los dos procesos que describió Poincare? Aquí están mis conjeturas:

1) "Un gran número de causas débiles se suman a un efecto formidable". El "gran número de causas" y "sumar" me suenan como el teorema del límite central . Pero en (la definición clásica de) el CLT, las causas deben ser variables aleatorias, no efectos deterministas. ¿El método estándar aquí es aproximar estos efectos deterministas como algún tipo de variable aleatoria?

2) "Una pequeña causa que escapa a nuestro aviso determina un gran efecto que no podemos pasar por alto". Me parece que podrías pensar en esto como una especie de modelo oculto de Markov . Pero las probabilidades de transición de estado (no observables) en un HMM son solo eso, probabilidades, que por definición, una vez más, no son deterministas.

probability central-limit-theorem intuition

— Andy McKenzie
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Pensamiento interesante (+1).

En los casos 1) y 2), el problema es el mismo: no tenemos información completa. Y la probabilidad es una medida de la falta de información.

1) Las causas débiles pueden ser puramente deterministas, pero qué causas particulares operan es imposible de conocer por un proceso determinista. Piensa en moléculas en un gas. Se aplican las leyes de la mecánica, entonces, ¿qué es aleatorio aquí? La información que se nos oculta: dónde está qué molécula con qué velocidad. Entonces, el CLT se aplica, no porque haya aleatoriedad en el sistema, sino porque hay aleatoriedad en nuestra representación del sistema .

2) Hay un componente de tiempo en HMM que no está necesariamente presente en este caso. Mi interpretación es la misma que antes, el sistema puede ser no aleatorio, pero nuestro acceso a su estado tiene algo de aleatoriedad.

EDITAR : No sé si Poincare estaba pensando en un enfoque estadístico diferente para estos dos casos. En el caso 1) conocemos los varialbes, pero no podemos medirlos porque hay demasiados y son demasiado pequeños. En el caso 2) no conocemos las variables. En ambos sentidos, terminas haciendo suposiciones y modelando lo observable lo mejor que podemos, y con bastante frecuencia asumimos Normalidad en el caso 2).

Pero aún así, si hubiera una diferencia, creo que sería emergente . Si todos los sistemas estuvieran determinados por sumas de causas insignificantes, entonces todas las variables aleatorias del mundo físico serían gaussianas. Claramente este no es el caso. ¿Por qué? Porque la escala importa. ¿Por qué? Debido a que surgen nuevas propiedades de las interacciones a menor escala, y estas nuevas propiedades no necesitan ser gaussianas. En realidad, no tenemos una teoría estadística para el surgimiento (que yo sepa), pero tal vez algún día lo tengamos. Entonces se justificará tener diferentes enfoques estadísticos para los casos 1) y 2)

— gui11aume
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Gracias por la respuesta. De acuerdo, ambos se reducen al hecho de que no tenemos información completa, esa es una buena manera de enmarcarla. Sin embargo, me gustaría ver una respuesta que distinga entre los dos casos más. ¿Qué estaba pensando Poincaré?

— Andy McKenzie

Te veo preocupado. Edité mi respuesta para tratar de responder lo mejor que pude.

— gui11aume

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Creo que estás leyendo demasiado en la declaración. Todo parece basarse en la premisa de que el mundo es determinista y que los humanos lo modelan probabilísticamente porque es más fácil aproximar lo que está sucediendo de esa manera que pasar por todos los detalles de la física y cualquier otra ecuación matemática que lo describa. Creo que ha habido un largo debate sobre el determinismo versus los efectos aleatorios, particularmente entre el físico y el estadístico. Me impresionaron especialmente las siguientes oraciones anteriores a lo que resaltaste. "Incluso se puede predecir un lanzamiento de moneda a partir de las condiciones iniciales y las leyes de la física, y un mago experto puede explotar esas leyes para lanzar cabezas cada vez". Cuando era un estudiante graduado en Stanford a fines de la década de 1970, Persi Diaconis, un estadístico y un mago, y Joe Keller, un físico, en realidad intentaron aplicar las leyes de la física a un lanzamiento de moneda para determinar cuál sería el resultado basado en las condiciones iniciales sobre si o no las cabezas están boca arriba y exactas; y cómo la fuerza del movimiento del dedo golpea la moneda. Creo que pueden haberlo resuelto. Pero pensar que un mago, incluso con el entrenamiento mágico y el conocimiento estadístico de una persiana diaconis, podría lanzar la moneda y que salga cara cada vez que sea absurdo. Creo que descubrieron que es imposible replicar las condiciones iniciales y creo que se aplica la teoría del caos. Pequeñas perturbaciones en la condición inicial tienen grandes efectos en el vuelo de la moneda y hacen que el resultado sea impredecible. Como estadístico, diría que incluso si el mundo es determinista, los modelos estocásticos hacen un mejor trabajo de predicción de resultados que las complejas leyes deterministas. Cuando la física es simple, las leyes deterministas pueden y deben ser utilizadas. Por ejemplo, la ley gravitacional de Newton funciona bien para determinar la velocidad que tiene un objeto cuando golpea el suelo cayendo desde 10 pies sobre el suelo y usando la ecuación d = gt $^2$ puede resolver el tiempo que lleva completar la caída con mucha precisión, ya que la constante gravitacional g se ha determinado con un alto nivel de precisión y la ecuación se aplica casi exactamente.

— Michael R. Chernick
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Michael Chernick, te puede interesar este artículo sobre Diaconis.

— Cian

Reemplazaría la oración "... los humanos lo modelan probabilísticamente porque es más fácil aproximar lo que está sucediendo de esa manera ..." con "... los humanos lo modelan probabilísticamente porque es demasiado difícil incorporar los pequeños detalles, que la mayoría de las veces no importa, ... ". Además, está adoptando un enfoque "práctico" para una pregunta más filosófica / conceptual. La teoría del caos es solo un problema "en la práctica" porque no tenemos representaciones de números arbitrariamente precisas. Otro problema con las leyes deterministas es que a menudo dependen de cosas que no podemos medir.

— probabilistico

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Gracias Cyan No he visto ese artículo en particular, pero he visto varios otros sobre Persi y lo conocí bastante bien como un ex profesor asistente que me enseñó la teoría de la probabilidad y las series de tiempo cuando ambos teníamos entre 20 y 30 años de edad, desde 1974 hasta 1978. . También Persi nos hizo a mí y a Michael Cohen (cuando Michael Cohen y yo éramos estudiantes graduados) rasurar dados en una tela cientos o miles de veces para confirmar su teoría sobre cuál sería el sesgo para ese tipo de afeitado.

— Michael R. Chernick

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Como cualquier buen experimentador, no nos dijo que estaban afeitados y que no era una gran diferencia en el área hacer que se notara a simple vista. por supuesto, si quisieras engañar a un establecimiento de juego con dados rasurados, no podrías afeitarte tanto para que sea notable y, sin embargo, no tan poco que te llevaría una eternidad ganar algunas buenas ganancias y evitar la ruina de los jugadores. De hecho, teníamos algunas sospechas sobre el experimento porque no tenía mucho sentido tratar de confirmar que cada lado se acercara a 1/6 de las veces.

— Michael R. Chernick

También hacer un experimento para demostrar que puedes sesgar una moneda justa a favor de las caras está lejos de ser capaz de obtener una cabeza cada vez. Las comisiones de lotería utilizan los estadísticos para probar sus máquinas y asegurarse de que sean justas.

— Michael R. Chernick

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$2^{-N}$ $2^N$

$N$ $a_n \sim b_n$ $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$

(\binom{N}{N f}) \sim \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- N H (f))

${N\choose Nf}\sim\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-NH(f)\right)$

$H(f)=f\log\left(f\right)+(1-f)\log\left(1-f\right)$ $H(f)$ $\frac{1}{2}$ ) de:

H (f) \approx - \log (2) + 2 (f - \frac{1}{2})^{2}

$H(f)\approx-\log\left(2\right)+2(f-\frac{1}{2})^2$

Entonces también tenemos:

(\binom{N}{N f}) \sim 2^{N} \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- \frac{2}{N} (N f - \frac{N}{2})^{2})

${N\choose Nf}\sim 2^N\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-\frac{2}{N}(Nf-\frac{N}{2})^2\right)$

$f$

— probabilidadislogica
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Gracias. Supongo que el OP no estaba leyendo demasiado para conectar la oración en negrita con el CLT. ¿Pero puedo asegurarme de entender esto correctamente? ¿Está diciendo que para N grande el número de combinaciones de N cosas tomadas Nf a la vez es aproximadamente igual a la densidad normal con el parámetro de varianza Nf (1-F) y el parámetro medio N / 2? Además, ¿esto es solo una propiedad matemática asintótica sin conexión con la probabilidad? ¡Es tan asombroso como ver la versión De Moivre - LaPlace del teorema del límite central en acción usando el dispositivo quincunx!

— Michael R. Chernick

Gracias, es muy útil pensar en la distribución normal de manera no probabilística. Sin embargo, no entiendo 1) cómo surge ese primer límite y 2) en qué punto estás haciendo la expansión de la serie Taylor.

— Andy McKenzie

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a_{n} \sim b_{n}

$a_n \sim b_n$

a_{n} / b_{n} \to 1

$a_n / b_n \to 1$

Las ediciones se ven mejor. Sin embargo, todavía debe haber un término faltante en la primera ecuación de visualización. :)

— cardenal

\log (N)

$\log(N)$

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La cita del libro de Pinker y la idea de un mundo determinista ignoran por completo la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre de Heisenberg. Imagine colocar una pequeña cantidad de algo radioactivo cerca de un detector y organizar las cantidades y distancias para que haya un 50% de posibilidades de detectar una descomposición durante un intervalo de tiempo predeterminado. Ahora conecte el detector a un relé que hará algo muy significativo si se detecta una descomposición y opere el dispositivo una vez y solo una vez.

Ahora ha creado una situación en la que el futuro es inherentemente impredecible. (Este ejemplo se basa en uno descrito por quien enseñó física de segundo o tercer año en el MIT a mediados de los años sesenta).

— Emil Friedman
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