¿Es estable la distribución de Poisson y existen fórmulas de inversión para el MGF?

Primero, tengo una pregunta sobre si la distribución de Poisson es "estable" o no. Muy ingenuamente (y no estoy muy seguro de las distribuciones "estables"), calculé la distribución de una combinación lineal de RV distribuidas por Poisson, utilizando el producto del MGF. Parece que obtengo otro Poisson, con un parámetro igual a la combinación lineal de los parámetros de los RV individuales. Entonces concluyo que Poisson es "estable". ¿Qué me estoy perdiendo?

Segundo, ¿hay fórmulas de inversión para el MGF como las hay para la función característica?

distributions poisson-distribution mgf

— Franco
fuente

Está cerrado con sumas (independientes) , pero no con combinaciones lineales arbitrarias. Si incluye su trabajo, sospecho que terminará viendo por qué en el proceso; y, si no, alguien podrá señalarlo. Sí, hay algunos análogos de inversión a los de las funciones características. ¿Qué sabe sobre la transformación de Laplace y la integración del contorno de Bromwich?

— cardenal

Bien, volveré a la mesa de dibujo. Tengo el MGF del i-th Poisson como: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Entonces, el producto de n Poisson MGF me da: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) y tomo el nuevo lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Ahora me temo que voy a parecer estúpido por cometer un error obvio. - Conozco la transformación de Laplace y la integración de contornos en general, pero no la integración de contornos de Bromwish. - ¿Recomendaría trabajar con los CF en lugar de los MGF en general? Parece más poderoso

— Frank

¿Cuál es la

en tu comentario? Además, rodee su Math-LaTeX con signos de dólar para que funcione (usando \ exp para que el "exp" salga a la derecha, y \ lambda para hacer un

, \ sum para

, etc.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

Sí, no soy muy bueno en LaTex, pero aquí va. Entonces, mi combinación lineal de RV es:

, y el producto de sus MGF es:

, si Estoy en lo cierto, si los RV se distribuyen como

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$ . Había usado la misma t para todos los RV, pero necesito usar

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

El error es que el MGF de

y no

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

Respuestas:

Combinaciones lineales de variables aleatorias de Poisson.

Como ha calculado, la función generadora de momento de la distribución de Poisson con tasa es $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

$X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

$X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Inversión de funciones generadoras de momento.

$\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

La inversión puede realizarse a través de la integral de Bromwich o la fórmula de inversión posterior . Se puede encontrar una interpretación probabilística de este último como ejercicio en varios textos de probabilidad clásicos.

Aunque no está directamente relacionado, es posible que también le interese la siguiente nota.

JH Curtiss (1942), Una nota sobre la teoría de las funciones generadoras de momentos , Ann. Matemáticas. Stat. vol. 13, no. 4, págs. 430–433.

La teoría asociada se desarrolla más comúnmente para funciones características, ya que estas son completamente generales: existen para todas las distribuciones sin soporte o restricciones de momento.

— cardenal
fuente

(+1) ¿Es la fórmula de inversión puramente teórica o se utiliza realmente a veces?

— gui11aume

@ gui11aume: Se usa en lugares; pero, los ejemplos que comúnmente encontraría en un texto generalmente son precisamente los ejemplos para los que no lo necesita. :)

— cardenal

Entonces, ¿presumiblemente es más fácil trabajar con CF que con MGF? Los MGF no siempre existen, ¿verdad? ¿Por qué molestarse con ellos?

— Frank

@Frank: pedagógicamente, son más fáciles de presentar a los estudiantes que conocen el cálculo, pero que tienen poca o ninguna experiencia en variables complejas. Cuando existen, tienen propiedades completamente análogas a las de los FQ. Desempeñan papeles importantes en algunas partes de la teoría de la probabilidad y las estadísticas teóricas, por ejemplo, grandes desviaciones e inclinación exponencial.

— cardenal

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

No conozco las fórmulas de inversión para MGF (pero parece que @cardinal lo es).

— gui11aume
fuente

(+1) Porque me gustan las pruebas ilustrativas simples y los contraejemplos que ponen inmediatamente de manifiesto el meollo del asunto.

— cardenal

Tengo una pregunta sobre terminología. En las estadísticas que estudié, las distribuciones estables eran las que tenían límites de distribución que satisfacían una condición de convergencia llamada ley estable. Estas son distribuciones continuas no normales. Hay una distribución para los límites de un promedio Z normalizado, pero el teorema del límite central no se aplica a Z debido al comportamiento de cola de la distribución de la población. En realidad, el teorema del límite central puede pertenecer a las leyes estables si un cierto parámetro alfa = 2.

— Michael R. Chernick

Lo que llamas estable aquí está más cerca de las sumas, lo que me parece más como el término infinitamente divisible. ¿En qué campos se usa el término estable para esto? ¿Se está utilizando en probabilidad y estadística?

— Michael R. Chernick

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$