Brevemente: es simétrico cuando y tienen la misma distribución para algún número real . X 2 a - X aXX2 a - Xun Pero llegar a esto de una manera totalmente justificada requiere cierta digresión y generalizaciones, porque plantea muchas preguntas implícitas: ¿por qué esta definición de "simétrica"? ¿Puede haber otros tipos de simetrías? ¿Cuál es la relación entre una distribución y sus simetrías y, por el contrario, cuál es la relación entre una "simetría" y aquellas distribuciones que podrían tener esa simetría?
Las simetrías en cuestión son reflejos de la línea real. Todos son de la forma
x → 2 a -x
por alguna constante .un
Entonces, supongamos que tiene esta simetría para al menos uno a . Entonces la simetría implicaXun
Pr [ X≥ a ] = Pr [ 2 a - X≥ a ] = Pr [ X≤ a ]
mostrando que es una mediana de . Del mismo modo, si tiene una expectativa, entonces inmediatamente se deduce que . Así lo general podemos precisar facilidad. Incluso si no, (y, por lo tanto, la simetría en sí misma) todavía está determinada de forma única (si es que existe).X X a = E [ X ] a aunXXa = E[ X]unun
Para ver esto, deje que sea cualquier centro de simetría. Luego, aplicando ambas simetrías, vemos que es invariante bajo la traducción . Si , la distribución de debe tener un período de , lo cual es imposible porque la probabilidad total de una distribución periódica es o infinita. Por lo tanto, , lo que demuestra que es único.X x → x + 2 ( b - a ) b - un ≠ 0 X b - un 0 b - un = 0 unasiX x → x + 2 ( b - a )b - a ≠ 0Xb - a0 0b - a = 0un
En términos más generales, cuando es un grupo que actúa fielmente en la línea real (y, por extensión, en todos sus subconjuntos de Borel), podríamos decir que una distribución es "simétrica" (con respecto a ) cuandoX GsolXsol
Pr [ X∈ E] = Pr [ X∈Esol]
para todos los conjuntos medibles y elementos , donde denota la imagen de bajo la acción de .g ∈ G E g E gmisol∈ Gmisolmisol
Como ejemplo, dejemos que siga siendo un grupo de orden , pero ahora que su acción sea tomar el recíproco de un número real (y dejar que arregle ). La distribución lognormal estándar es simétrica con respecto a este grupo. Este ejemplo puede entenderse como una instancia de una simetría de reflexión donde se ha producido una reexpresión no lineal de las coordenadas. Esto sugiere enfocarse en transformaciones que respeten la "estructura" de la línea real. La estructura esencial para la probabilidad debe estar relacionada con los conjuntos de Borel y la medida de Lebesgue, que se pueden definir en términos de distancia (euclidiana) entre dos puntos.2 0sol20 0
Un mapa de preservación de distancia es, por definición, una isometría. Es bien sabido (y fácil, aunque un poco complicado, demostrar) que todas las isometrías de la línea real son generadas por reflexiones. Por lo tanto, cuando se entiende que "simétrico" significa simétrico con respecto a algún grupo de isometrías , el grupo debe ser generado como máximo por una reflexión y hemos visto que la reflexión está determinada únicamente por cualquier distribución simétrica con respecto a ella. En este sentido, el análisis anterior es exhaustivo y justifica la terminología habitual de las distribuciones "simétricas".
Incidentalmente, se ofrece una gran cantidad de ejemplos multivariados de distribuciones invariantes bajo grupos de isometrías al considerar distribuciones "esféricas". Estos son invariables en todas las rotaciones (en relación con algún centro fijo). Estos generalizan el caso unidimensional: las "rotaciones" de la línea real son solo los reflejos.
Finalmente, vale la pena señalar que una construcción estándar, promediando sobre el grupo, proporciona una forma de producir cargas de distribuciones simétricas. En el caso de la línea real, deje que sea generada por la reflexión sobre un punto , de modo que consista en el elemento de identidad esta reflexión, . Deje ser cualquier distribución. Defina la distribución configurandoa e g X YsolunmisolXY
PrY[E]=1|G|∑g∈GPrX[Eg]=(PrX[E]+PrX[Eg])/2
para todos los conjuntos de Borel . Esto es manifiestamente simétrico y es fácil verificar que sigue siendo una distribución (todas las probabilidades permanecen no negativas y la probabilidad total es ).1E1
Para ilustrar el proceso de promedio de grupo, el PDF de una distribución gamma simétrica (centrada en ) se muestra en oro. El Gamma original está en azul y su reflejo está en rojo.a=2