En términos no técnicos, un múltiple es una estructura geométrica continua que tiene una dimensión finita: una línea, una curva, un plano, una superficie, una esfera, una bola, un cilindro, un toro, un "blob" ... algo como esto :
Es un término genérico utilizado por los matemáticos para decir "una curva" (dimensión 1) o "superficie" (dimensión 2), o un objeto 3D (dimensión 3) ... para cualquier posible dimensión finita . Una variedad unidimensional es simplemente una curva (línea, círculo ...). Un colector bidimensional es simplemente una superficie (plano, esfera, toro, cilindro ...). Una variedad tridimensional es un "objeto completo" (bola, cubo completo, el espacio 3D que nos rodea ...).n
Un múltiple se describe a menudo mediante una ecuación: el conjunto de puntos como es un múltiple unidimensional (un círculo).x 2 + y 2 = 1(x,y)x2+y2=1
Una variedad tiene la misma dimensión en todas partes. Por ejemplo, si agrega una línea (dimensión 1) a una esfera (dimensión 2), la estructura geométrica resultante no es múltiple.
A diferencia de las nociones más generales de espacio métrico o espacio topológico que también pretenden describir nuestra intuición natural de un conjunto continuo de puntos, un múltiple está destinado a ser algo localmente simple: como un espacio vectorial de dimensión finita: . Esto excluye espacios abstractos (como espacios de dimensión infinita) que a menudo no tienen un significado concreto geométrico.Rn
A diferencia de un espacio vectorial, los colectores pueden tener varias formas. Algunos colectores se pueden visualizar fácilmente (esfera, bola ...), algunos son difíciles de visualizar, como la botella de Klein o el plano proyectivo real .
En estadística, aprendizaje automático o matemática aplicada en general, la palabra "múltiple" a menudo se usa para decir "como un subespacio lineal" pero posiblemente curva. Cada vez que escribe una ecuación lineal como: obtiene un subespacio lineal (afín) (aquí un plano). Por lo general, cuando la ecuación no es lineal como , esta es una variedad (aquí una esfera estirada).x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 73x+2y−4z=1x2+2y2+3z2=7
Por ejemplo, la " hipótesis múltiple " de ML dice que "los datos de alta dimensión son puntos en una variedad de baja dimensión con ruido de alta dimensión agregado". Puede imaginar puntos de un círculo 1D con algo de ruido 2D agregado. Si bien los puntos no están exactamente en el círculo, satisfacen estadísticamente la ecuación . El círculo es la variedad subyacente:
x2+y2=1