Descomponiendo la distribución normal

¿Existe una distribución de solo positivo tal que la diferencia de dos muestras independientes de esta distribución se distribuya normalmente? Si es así, ¿tiene una forma simple?

distributions probability

— Martin O'Leary
fuente

¡Interesante pregunta! La distribución normal es infinitamente descomponible, lo que significa que siempre se puede escribir como la distribución de una suma

de un número arbitrario

de variables aleatorias. Pero esta no es la pregunta.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Xi'an

Si llega a la función de generación de momento, la pregunta es si

permite una solución (en

) que es una función generadora de momentos de una variable positiva ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Xi'an

Tienes razón, @Dilip: una diferencia de medias normales no tiene una distribución normal. El problema no está en la variación de la diferencia: la forma misma de la distribución no es normal (su curtosis es demasiado grande).

— whuber

Aunque esto es obvio, vale la pena señalar que la declaración es aproximadamente correcta. Después de todo, la diferencia de una

variable y un

variable tiene un

la distribución y, por la elección de

suficientemente grande, podemos hacer la posibilidad de que cualquiera de las variables sea negativa tan pequeña como se desee.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

La respuesta a la pregunta es No, y se deriva de una caracterización famosa de distribuciones normales.

Suponga que e son variables aleatorias independientes. Entonces también lo son las variables aleatorias independientes e , y por supuesto podemos escribir como , la suma de dos variables aleatorias independientes. Ahora, de acuerdo con un teorema conjeturado por P. Lévy y probado por H. Cramér (ver Feller, Capítulo XV.8, Teorema 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Si e son variables aleatorias independientes y se distribuye normalmente, entonces e se distribuyen normalmente. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
fuente

De alguna manera esperaba que la respuesta fuera sí, ¡pero gracias! No tengo acceso fácil a una copia de Feller, ¿es posible hacer un bosquejo de una prueba del teorema? Parece bastante contradictorio.

— Martin O'Leary

Incluso Feller no incluye la prueba original que afirma que se basa en la teoría de la función analítica y, por lo tanto, es muy diferente de su enfoque de las funciones características.

— Dilip Sarwate

Pensé que ese era el caso, pero abre la puerta a las variables dependientes. Intenté encontrar una manera de construir dependencia entre 2 medias normales positivas, pero no pude lograr que funcionara.

— Michael R. Chernick

bueno, tal vez alguien debería estar más interesado en tratar de resolverlo

— Michael R. Chernick

Haré de esto una pregunta y luego puedes deletrear tu respuesta. No estoy siguiendo exactamente cómo se ve esta densidad conjunta y ¿estás tomando Z = | X | - | Y |?

— Michael R. Chernick