Propiedad de suma cero de la diferencia entre los datos y la media

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Soy nuevo en estudios estadísticos y en este sitio y me encontré con la "propiedad de suma cero" en mi libro con respecto a la media. Parece ser sencillo, pero todavía no puedo entender la noción. La única información que da con la fórmula es

la suma de la diferencia entre cada valor de una variable , anotado , y el valor medio de , anotado como , es igual a cero. $Y$ $Y_i$ $Y$ $\bar Y$

¿Alguien podría explicar mejor el concepto?

mean

— MK Qn
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Ya tienes respuestas más formales. Esta respuesta debería darte algo de "intuición" detrás de las matemáticas.

La media aritmética es sensible a sus datos (incluidos los valores atípicos) . Imagine una palanca , como la que se ilustra a continuación. Sus datos son las bolas naranjas que se encuentran en una viga (imagine que es un eje x de algún tipo de gráfico y sus datos son valores dispersos a su alrededor en varias posiciones). Para que la varilla esté en posición horizontal, la bisagra debe colocarse en un lugar que equilibre las bolas. Puede recordar de la física elemental (o simplemente de las experiencias de su infancia en el patio de recreo), que la colocación de las bolas juega un papel en la influencia que ejercen sobre la palanca. Las bolas "periféricas", como las llamamos en estadística, tienen mucha más influencia que las bolas que se amontonan alrededor del "centro". La media es el valor que coloca la bisagra en la posición exacta que equilibra la palanca.

Entonces podemos decir que la media se encuentra en el centro, entre los valores. El centro se define en términos de distancias (es decir, diferencias) entre los puntos y la media. Dado que está en el centro, entonces esperaríamos que las distancias estén equilibradas, es decir, se reducen a cero, por lo que la suma de distancias debe ser cero y la media tiene esta propiedad (y solo la media).

Verifique también la media aritmética relacionada . Por que funciona hilo en math.stackexchange.com.

— Tim
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Esto es válido para el estimador medio simple de vainilla, no para el promedio poblacional (en el límite) o estimadores medios más sofisticados. De hecho, la mayoría de los estimadores de contracción producen una media más baja (en términos absolutos) en comparación con el estimador de vainilla, por lo tanto, ese nivel no se equilibra realmente.

— Cagdas Ozgenc

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@CagdasOzgenc Estoy declarando explícitamente que esto se aplica a la media aritmética.

— Tim

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No es una crítica. Observaciones adicionales. Las otras respuestas no fueron lo suficientemente completas como para comentar.

— Cagdas Ozgenc

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deje que sean valores de observación de una variable y deje que denotan la media aritmética de observaciones La propiedad de suma cero se puede escribir matemáticamente como: Prueba: por definición de tenemos y por lo tanto: Interpretación: Tenga en cuenta que $y_1,y_2, \dots, y_n$ $n$ $Y$ $\overline{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$

0 0 = \sum_{yo = 1}^{norte} (y_{yo} - \bar{y}) .

$0 = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}).$

\bar{y}

$\overline{y}$

n \bar{y} = n \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

$n\overline{y} = n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n y_i$

\sum_{yo = 1}^{norte} (y_{yo} - \bar{y}) = \sum_{yo = 1}^{norte} y_{yo} - norte \bar{y} = norte \bar{y} - norte \bar{y} = 0.

$\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i - n \overline{y} =n \overline{y} - n \overline{y}= 0.$

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$ es esencialmente la "distancia" entre la observación y la media aritmética donde la información si la observación es menor o mayor que la media aritmética todavía se conserva a través del signo de ( por supuesto, la distancia en sí misma debería ser no negativa y sería ).

y_{i}

$y_i$

\bar{y}

$\overline{y}$

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$

| y_{i} - \bar{y} |

$|y_i-\overline{y}|$

La propiedad de suma cero se puede interpretar, que la media aritmética es el número modo que los valores de observación de que son más pequeños que y los valores de que son más grandes que mantener el equilibrio, es decir, suman cero. $\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$

De hecho, es fácil ver a partir de la prueba de que es el único número que posee esta propiedad.

Obviamente, podría usar esta propiedad para verificar si los cálculos de la media fueron correctos.

— BloXX
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Verba docent ejemplar trahunt.

Seneka

Toma tres números: 1, 2 y 3.

El valor medio es 2

Las diferencias entre valores y una media son:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

La suma de estas diferencias es

-1 + 0 + 1 = 0

La propiedad de suma cero indica que no importa con qué números comience, un resultado (suma de diferencias entre ellos y su media) sería 0

— Łukasz Deryło
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Aquí hay una pequeña y práctica prueba general del resultado $\sum (x_i - \overline{x}) = 0$

Tomemos la secuencia de números:

X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . ., X_{norte}

$x_1,x_2,x_3,...,x_n$ reconocemos que la media de este conjunto de números se puede denotar por,

\bar{X} = \frac{\sum X_{yo}}{norte}

$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$ Volviendo al LHS de la declaración original

\sum (x_{i} - \bar{x})

$\sum (x_i - \overline{x})$ podemos escribir esto en su totalidad de la siguiente manera:

\sum (X_{yo} - \bar{X}) = (X_{1} - \frac{\sum X_{yo}}{norte}) + (X_{2} - \frac{\sum X_{yo}}{norte}) + (X_{3} - \frac{\sum X_{yo}}{norte}) + . . . + (X_{norte} - \frac{\sum X_{yo}}{norte})

$\sum (x_i - \overline{x}) = \Bigl(x_1-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_2-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_3-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) +...+\Bigl(x_n-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl)$ Esto se puede simplificar a 0 en los siguientes pasos:

X_{1} + X_{2} + X_{3} + . . . + X_{norte} - (\frac{norte \sum X_{yo}}{norte})

$x_1+x_2+x_3+...+x_n-\Bigl(\frac{n\sum x_i}{n}\Bigl)$

\sum X_{yo} - \sum X_{yo}

$\sum x_i-\sum x_i$

= 0 0

$=0$

— Chris Wilson
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