¿Cuál es la diferencia / relación entre método de momentos y GMM?

¿Puede alguien explicarme la diferencia entre el método de los momentos y el GMM (método general de los momentos), su relación y cuándo se debe usar uno u otro?

Tanto MOM como GMM son métodos muy generales para estimar parámetros de modelos estadísticos. GMM es, como su nombre indica, una generalización de MOM. Fue desarrollado por Lars Peter Hansen y publicado por primera vez en Econometrica [1]. Como hay numerosos libros de texto sobre el tema (por ejemplo, [2]), supongo que desea una respuesta no técnica aquí.

Método tradicional o clásico de estimador de momentos

El estimador MOM es un estimador consistente pero ineficiente. Suponga un vector de datos y que fueron generados por una distribución de probabilidad indexada por un vector de parámetros theta con k elementos. En el método de los momentos, theta se calcula calculando k momentos de muestra de y, estableciéndolos iguales a los momentos de población derivados de la distribución de probabilidad supuesta y resolviendo para theta. Por ejemplo, el momento poblacional de mu es la expectativa de y, mientras que el momento muestral de mu es la media muestral de y. Repetiría esto para cada uno de los k elementos de theta. Como los momentos de muestra son generalmente estimadores consistentes de los momentos de la población, theta-hat será consistente para theta.

Método generalizado de momentos

En el ejemplo anterior, tuvimos la misma cantidad de condiciones de momento que los parámetros desconocidos, por lo que todo lo que habríamos hecho es resolver las k ecuaciones en k incógnitas para obtener las estimaciones de los parámetros. Hansen preguntó: ¿Qué sucede cuando tenemos más condiciones de momento que parámetros como ocurre generalmente en los modelos econométricos? ¿Cómo podemos combinarlos de manera óptima? Ese es el propósito del estimador GMM. En GMM estimamos el vector de parámetros minimizando la suma de los cuadrados de las diferencias entre los momentos de población y los momentos de muestra, utilizando la varianza de los momentos como una métrica. Este es el estimador de varianza mínima en la clase de estimadores que usan estas condiciones de momento.

[1] Hansen, LP (1982): Propiedades de muestra grande del método generalizado de estimadores de momentos, Econometrica , 50, 1029-1054

[2] Hall, AR (2005). Método generalizado de momentos (textos avanzados en econometría). prensa de la Universidad de Oxford