No entiendo la varianza del binomio

Me siento realmente tonto incluso haciendo una pregunta tan básica, pero aquí va:

Si tengo una variable aleatoria $X$ que puede tomar valores $0$ y $1$ , con $P(X=1) = p$ y $P(X=0) = 1-p$ , entonces si saco $n$ muestras de ella, obtendré Una distribución binomial.

La media de la distribución es

$\mu = np = E(X)$

La varianza de la distribución es

$\sigma^2 = np(1-p)$

Aquí es donde comienza mi problema:

La varianza se define por $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ . Debido a que el cuadrado de los dos posibles resultados de $X$ no cambia nada ( $0^2 = 0$ y $1^2 = 1$ ), eso significa $E(X^2) = E(X)$ , entonces eso significa

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

¿A dónde va el adicional $n$ ? Como probablemente pueda ver, no soy muy bueno en estadísticas, así que no use terminología complicada: s

variance binomial

— dain
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y estos son independientes, entonces

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$ . Pero una ruta aún más fácil es

entonces

así que con independencia

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

Respuestas:

Una variable aleatoria toma los valores y con probabilidades y se llama variable aleatoria de Bernoulli con el parámetro . Esta variable aleatoria tiene $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$ Suponga que tiene una muestra aleatoriade tamañode, y defina una nueva variable aleatoria

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

, entonces la distribución de

se llama Binomial, cuyos parámetros son

. La media y la varianza de la variable aleatoria binomial Y viene dada por

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
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¿Cómo responde esto a la pregunta, que era "¿A dónde va el n adicional?"

— ameba dice Reinstate Monica

@amoeba Muchas gracias por tu comentario. Como OP no pudo distinguir entre las variables aleatorias de Bernoulli y Binomial, pensé en recordarle las definiciones necesarias y el proceso para obtener las expresiones requeridas.

— LVRao

Solo digo que su respuesta (en mi opinión) mejoraría si señala explícitamente el error en el razonamiento de OP. Su respuesta deriva las fórmulas correctas, pero no muestra dónde OP salió mal.

— ameba dice Reinstate Monica

@amoeba Cierto. Dar alguna dirección, hacer que se corrijan ellos mismos también ayuda a veces.

— LVRao

Two mistakes in your proving process:

1: $X$ in first paragraph has different definition comparing with $X$ in the rest of article.

2: Under the condition that $X$ ~ $Bin(p, n)$ , $E(X^2) \ne E(X)$ . Try to work from $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
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If you like making your eyes bleed, I transcribed a lot of my notes from grad school. This particular link shows the derivation of E(X) and E(X^2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Benjamin