La suma de variables aleatorias exponenciales sigue a Gamma, confundida por los parámetros

Aprendí que la suma de las variables aleatorias exponenciales sigue la distribución Gamma.

Pero en todas partes que leo la parametrización es diferente. Por ejemplo, Wiki describe la relación, pero no dice qué significan realmente sus parámetros. Forma, escala, tasa, 1 / tasa?

Distribución exponencial: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Distribución gamma: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

En esta configuración, ¿qué es ? ¿Cuál sería la parametrización correcta? ¿Qué tal extender esto a chi-cuadrado? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— edwin
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Como regla general, los probabilistas tienden a usar para denotar una distribución Gamma con media (es decir, mientras que los estadísticos tienden a usar para denotar una variable aleatoria Gamma con media , no la manera que lo tiene. Wikipedia describe ambas convenciones.

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate

lo siento, tienes razón

— edwin

Dos sugerencias: 1. recuerde verificar por consistencia dimensional. (por ejemplo, ¿el parámetro tiene la misma dimensionalidad de , o su recicprocal ...?) 2. porque aquí el parámetro de la gamma es un número entero, podría ser un poco más fácil usar factoriales simples y la distribución de Erlang (de por supuesto, es lo mismo)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Entonces edite su pregunta para corregir las expresiones de media y varianza.

— Dilip Sarwate

¡@DilipSarwate editado!

— edwin

Respuestas:

La suma de variables aleatorias gamma independientes es una variable aleatoria gamma . No importa lo que signifique el segundo parámetro (escala o inverso de escala) siempre que todas las variables aleatorias tengan el mismo segundo parámetro. Esta idea se extiende fácilmente a variables aleatorias, que son un caso especial de variables aleatorias gamma. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
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Lo que me confunde es que algunos libros escriben donde es la tasa, mientras que otros significan 1 / tasa. ¿Hay una notación consistente? A menos que vea el pdf, no sabré lo que significan.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— edwin

Si cree que eso es confuso, espere hasta que encuentre variables aleatorias normales. Hay al menos tres interpretaciones diferentes de que usan los estadísticos.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate

jajaja, eso es solo arruinar almas inocentes que quieren estudiar el tema. Personalmente, creo que está mal escrito por parte del autor, al mismo tiempo, estoy de acuerdo en que necesito adaptar la capacidad de detectar cosas incorrectas. Pero aún así, no cuando estoy dando pequeños pasos.

— Edwin

Bueno, como autor de la respuesta a la otra pregunta, me decepciona que pienses que esa respuesta está mal escrita. Las sugerencias para mejorarlo son bienvenidas.

— Dilip Sarwate

No me estoy refiriendo a su enlace.

— edwin

La suma de iid distribuciones exponenciales con escala (tasa ) se distribuye en gamma con forma escala (tasa ). $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Neil G
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$f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
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He formateado la parte matemática de tu respuesta. Por favor, compruebe si esto sigue siendo lo que quería expresar.

— Andy

Su afirmación es incorrecta a menos que la califique al insistir en que son variables aleatorias independientes .

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

— Dilip Sarwate