Relación entre dos series temporales: ARIMA

Dadas las siguientes dos series de tiempo ( x , y ; ver más abajo), ¿cuál es el mejor método para modelar la relación entre las tendencias a largo plazo en estos datos?

Ambas series de tiempo tienen pruebas significativas de Durbin-Watson cuando se modelan en función del tiempo y ninguna de las dos es estacionaria (según tengo entendido el término, ¿o esto significa que solo necesita ser estacionaria en los residuos?). Me han dicho que esto significa que debería tomar una diferencia de primer orden (al menos, tal vez incluso de segundo orden) de cada serie de tiempo antes de poder modelar una en función de la otra, esencialmente utilizando una arima (1,1,0 ), arima (1,2,0) etc.

No entiendo por qué necesita desactualizar antes de poder modelarlos. Entiendo la necesidad de modelar la autocorrelación, pero no entiendo por qué debe haber diferencias. Para mí, parece que la tendencia a diferenciar es eliminar las señales primarias (en este caso, las tendencias a largo plazo) en los datos que nos interesan y dejar el "ruido" de mayor frecuencia (usando el término ruido libremente). De hecho, en las simulaciones donde creo una relación casi perfecta entre una serie de tiempo y otra, sin autocorrelación, diferenciar la serie de tiempo me da resultados que son contradictorios para fines de detección de relaciones, por ejemplo,

a = 1:50 + rnorm(50, sd = 0.01)
b = a + rnorm(50, sd = 1)
da = diff(a); db = diff(b)
summary(lmx <- lm(db ~ da))

En este caso, b está fuertemente relacionado con a , pero b tiene más ruido. Para mí, esto muestra que la diferenciación no funciona en un caso ideal para detectar relaciones entre señales de baja frecuencia. Entiendo que la diferenciación se usa comúnmente para el análisis de series de tiempo, pero parece ser más útil para determinar las relaciones entre las señales de alta frecuencia. ¿Qué me estoy perdiendo?

Datos de ejemplo

df1 <- structure(list(
x = c(315.97, 316.91, 317.64, 318.45, 318.99, 319.62, 320.04, 321.38, 322.16, 323.04, 324.62, 325.68, 326.32, 327.45, 329.68, 330.18, 331.08, 332.05, 333.78, 335.41, 336.78, 338.68, 340.1, 341.44, 343.03, 344.58, 346.04, 347.39, 349.16, 351.56, 353.07, 354.35, 355.57, 356.38, 357.07, 358.82, 360.8, 362.59, 363.71, 366.65, 368.33, 369.52, 371.13, 373.22, 375.77, 377.49, 379.8, 381.9, 383.76, 385.59, 387.38, 389.78), 
y = c(0.0192, -0.0748, 0.0459, 0.0324, 0.0234, -0.3019, -0.2328, -0.1455, -0.0984, -0.2144, -0.1301, -0.0606, -0.2004, -0.2411, 0.1414, -0.2861, -0.0585, -0.3563, 0.0864, -0.0531, 0.0404, 0.1376, 0.3219, -0.0043, 0.3318, -0.0469, -0.0293, 0.1188, 0.2504, 0.3737, 0.2484, 0.4909, 0.3983, 0.0914, 0.1794, 0.3451, 0.5944, 0.2226, 0.5222, 0.8181, 0.5535, 0.4732, 0.6645, 0.7716, 0.7514, 0.6639, 0.8704, 0.8102, 0.9005, 0.6849, 0.7256, 0.878),
ti = 1:52), 
.Names = c("x", "y", "ti"), class = "data.frame", row.names = 110:161)

ddf<- data.frame(dy = diff(df1$y), dx = diff(df1$x))
ddf2<- data.frame(ddy = diff(ddf$dy), ddx = diff(ddf$dx))
ddf$ti<-1:length(ddf$dx); ddf2$year<-1:length(ddf2$ddx)
summary(lm0<-lm(y~x, data=df1))      #t = 15.0
summary(lm1<-lm(dy~dx, data=ddf))    #t = 2.6
summary(lm2<-lm(ddy~ddx, data=ddf2)) #t = 2.6

Matt, tienes mucha razón en las preocupaciones que has planteado con respecto al uso de una estructura de diferenciación innecesaria. Para identificar un modelo apropiado para sus datos que produzca una estructura significativa al representar un proceso de error gaussiano con un ACF deEl proceso de modelado de identificación de la función de transferencia requiere (en este caso) una diferenciación adecuada para crear series sustitutas que sean estacionarias y, por lo tanto, que se puedan utilizar para IDENTIFICAR el negocio de relaciones. En esto, los requisitos de diferenciación para IDENTIFICACIÓN fueron la doble diferenciación para la X y la diferenciación única para la Y. Además, se encontró que un filtro ARIMA para la X doblemente diferenciada era un AR (1). La aplicación de este filtro ARIMA (¡solo con fines de identificación!) A ambas series estacionarias arrojó la siguiente estructura de correlación cruzada. sugiriendo una simple relación contemporánea. . Tenga en cuenta que si bien las series originales exhiben no estacionariedad, esto no implica necesariamente que se necesite diferenciar en un modelo causal. El modelo final y el acf final lo respaldan. Al cerrar la ecuación final, aparte de los cambios de nivel identificados empíricamente (realmente los cambios de intercepción) es

 Y(t)=-4.78 + .192*X(t) - .177*X(t-1) which is NEARLY equal to 

 Y(t)=-4.78 + .192*[X(t)-X(t-1)] which means that changes in X effect the level of Y

Finalmente tenga en cuenta las características del modelo sugerido.

la serie Level Shift (0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1, ........., 1) sugiere que si no se trata, los residuos del modelo exhibirían un nivel cambiar en o alrededor del período de tiempo 10 ASÍ, una prueba de la hipótesis de una media residual común entre los primeros 10 residuos y los últimos 42 sería significativa en alfa = .0002 basada en una "prueba t de -4.10". Tenga en cuenta que la inclusión de una constante garantiza que la media general de los residuos no difiere significativamente de cero, PERO esto no es necesariamente para todos los intervalos de tiempo del subconjunto. El siguiente gráfico muestra claramente esto (¡dado que le dijeron que mirara!). El Real / Ajuste / Pronóstico es bastante esclarecedor . Las estadísticas son como postes de luz, algunos los usan para apoyarse en otros los usan para iluminación.

Tampoco entiendo ese consejo. La diferenciación elimina las tendencias polinómicas. Si las series son similares debido a las tendencias, la diferenciación elimina esencialmente esa relación. solo lo harías si esperas que los componentes de tendencia estén relacionados. Si el mismo orden de diferenciación conduce a acfs para los residuos que parecen ser de un modelo ARMA estacionario que incluye ruido blanco que puede indicar que ambas series tienen tendencias polinómicas iguales o similares.

Según lo entiendo, la diferenciación da respuestas más claras en la función de correlación cruzada. Compara ccf(df1$x,df1$y)y ccf(ddf$dx,ddf$dy).