¿Cuál es la razón por la que usamos el logaritmo natural (ln) en lugar de iniciar sesión en la base 10 para especificar la función en econometría?

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¿Cuál es la razón por la que usamos el logaritmo natural (ln) en lugar de iniciar sesión en la base 10 al especificar funciones en econometría?

econometrics

Compruebe esto para obtener más información youtube.com/watch?v=IXhucU6214M&feature=youtu.be esto le dirá por qué los registros naturales se calculan con razones y referencias de los autores de renombre

— Amit Kumar

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En el contexto de la regresión lineal en las ciencias sociales, Gelman y Hill escriben [1]:

Preferimos registros naturales (es decir, logaritmos base ) porque, como se describió anteriormente, los coeficientes en la escala de registro natural son directamente interpretables como diferencias proporcionales aproximadas: con un coeficiente de 0.06, una diferencia de 1 en corresponde a un 6 aproximado % de diferencia en , y así sucesivamente. $e$ $x$ $y$

[1] Andrew Gelman y Jennifer Hill (2007). Análisis de datos mediante regresión y modelos multinivel / jerárquicos . Cambridge University Press: Cambridge; Nueva York, pp. 60-61.

— fmark
fuente

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+1: Por razones concretas para preferir el logaritmo natural.

— Neil G

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De manera más general, la función exponencial es la única función continua que es igual a su derivada.

— user603

1

¿No se aplicaría esto si aplicamos log10 a las variables dependientes e independientes?

— cs0815

2

@ cs0815 si aplica la expansión de Taylor alrededor del punto b

a la función exponencial

, con

entonces obtienes los primeros dos términos:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n}

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(b)}{n!}(x-b)^n$

f (x) = a^{x}

$f(x)=a^x$

f^{(n)} (x) = l n (a)^{n} a^{x}

$f^{(n)}(x) = ln(a)^n a^x$

y el término

se convierte en 1 para

modo que puede usar

, que sin embargo solo es cierto para x pequeño . También puede simplemente probarlo exp (1.06) / exp (1) = 1.0618 y 10 ^ 1.06 / 10 ^ 1 = 1.1418154

f (b + x) = f (b) + l n (a) f (b) x + O (x^{2})

$f(b+x) = f(b) + ln(a)f(b)x + \mathcal{O}(x^2)$

l n (a)

$ln(a)$

a = e

$a=e$

f (b + x) \sim f (b) (1 + x)

$f(b+x) \sim f(b) (1+x)$

— Sextus Empiricus

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No hay una razón muy fuerte para preferir los logaritmos naturales. Supongamos que estamos estimando el modelo:

ln Y = a + b ln X

La relación entre logaritmos naturales (ln) y base 10 (log) es ln X = 2.303 log X (fuente) . Por lo tanto, el modelo es equivalente a:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

o, poniendo a / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

Cualquiera de las formas del modelo podría estimarse, con resultados equivalentes.

Una ligera ventaja de los logaritmos naturales es que su primer diferencial es más simple: d (ln X) / dX = 1 / X, mientras que d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (fuente) .

Para una fuente en un libro de texto de econometría que dice que se puede usar cualquier forma de logaritmos, ver Gujarati, Essentials of Econometrics 3rd edition 2006 p 288.

— Adam Bailey
fuente

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El logaritmo natural también es útil en una regresión de series de tiempo semi-logarítmicas ya que los coeficientes estimados pueden interpretarse como tasas de crecimiento continuamente compuestas.

— Jason B

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Creo que el logaritmo natural se usa porque el exponencial se usa a menudo al hacer el cálculo de interés / crecimiento.

$F(t)=N.e^{rt}$

Dado que terminas con exponencial en el cálculo, la mejor manera de deshacerte de él es usando el logaritmo natural y si haces la operación inversa, el registro natural te dará el tiempo necesario para alcanzar un cierto crecimiento.

Además, lo bueno de los logaritmos (ya sea natural o no) es el hecho de que puede convertir las multiplicaciones en adiciones.

En cuanto a las explicaciones matemáticas de por qué terminamos usando un exponencial al aumentar el interés, puede encontrarlo aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

Básicamente, debe tomar el límite para tener un número infinito de pago de tasa de interés, que termina siendo la definición de exponencial

Aunque se piense que el tiempo continuo no se usa ampliamente en la vida real (usted paga sus hipotecas con pagos mensuales, no cada segundo ...), ese tipo de cálculo a menudo es utilizado por analistas cuantitativos.

— Mesop
fuente

Probablemente habría dado una respuesta como esta. El punto de que no importa en el modelado también es bueno. Podríamos usar fácilmente la base 2. La diferencia es solo un factor constante

— Michael R. Chernick,

N r^{t}

$Nr^t$

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Una razón adicional por la que a los economistas les gusta usar regresiones con formas funcionales logarítmicas es económica: los coeficientes pueden entenderse como elasticidades de una función de Cobb-Douglas. Esta función es probablemente la más común utilizada entre los economistas para analizar cuestiones relacionadas con el comportamiento microeconómico (preferencias de los consumidores, tecnología, funciones de producción) y cuestiones macroeconómicas (crecimiento económico). El término de elasticidad se usa para describir el grado de respuesta de un cambio de una variable con respecto a otra.

— user21259
fuente

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$e^{-{1\over2}x^2}$

— Wayne
fuente

1

(\sqrt{e})^{- x^{2}}

$(\sqrt{e})^{-x^2}$

2

La única razón es que la expansión de Taylor da una interpretación intuitiva del resultado.

Δ \ln Y_{t} = \ln Y_{t} - \ln Y_{t - 1} = \ln \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}} = \ln (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} - \frac{1}{2} {(\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})}^{2} + \dots

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

\dots = \dots + β \times Δ \ln Y_{t}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$

β

$\beta$

\dots = \dots + β \times Δ \log_{10} Y_{t} \approx \dots + β \times \frac{1}{\ln (10)} \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

β

$\beta$

— Aksakal
fuente

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Hay una buena razón para usar la transformación logarítmica de la variable si cree que la función inversa del logaritmo es la función exponencial, que es una versión continua de conpounding. La variable económica que está creciendo alrededor del 10% a la vez se puede transformar a la variable con su media alrededor de 10 (más una constante). No se puede hacer eso con la transformación del logaritmo de base diferente.

— Ikuyasu
fuente