Creo que está preguntando cuál es, si la hay, la distribución de un rv , de modo que, si tenemos una muestra iid de tamaño de esa distribución, mantendrá queXn>1
E[GM]=E⎡⎣(∏i=1nXi)1/n⎤⎦=E(X)
Debido a la suposición de iid , tenemos
E⎡⎣(∏i=1nXi)1/n⎤⎦=E(X1/n1⋅...⋅X1/nn)=E(X1/n1)⋅...⋅E(X1/nn)=[E(X1/n)]n
y entonces preguntamos si podemos tener
[E(X1/n)]n=E(X)
Pero por la desigualdad de Jensen, y el hecho de que la función de potencia es estrictamente convexa para potencias superiores a la unidad, tenemos eso, casi seguramente para una variable aleatoria no degenerada (no constante),
[E(X1/n)]n<E[(X1/n)]n=E(X)
Entonces no existe tal distribución.
Con respecto a la mención de la distribución logarítmica normal en un comentario, lo que vale es que la media geométrica ( ) de la muestra de una distribución logarítmica normal es un estimador sesgado pero asintóticamente consistente de la mediana . Esto se debe a que, para la distribución lognormal, sostiene queGM
E(Xs)=exp{sμ+s2σ22}
(donde y son los parámetros de la normalidad subyacente, no la media y la varianza de la log-normal).μσ
En nuestro caso, entonces obtenemoss=1/n
E(GM)=[E(X1/n)]n=[exp{(μ/n)+σ22n2}]n=exp{μ+σ22n}
(lo que nos dice que es un estimador sesgado de la mediana). Pero
lim[E(X1/n)]n=limexp{μ+σ22n}=eμ
cual es la mediana de la distribución. También se puede demostrar que la varianza de la media geométrica de la muestra converge a cero, y estas dos condiciones son suficientes para que este estimador sea asintóticamente consistente: para la mediana,
GM→peμ