Si es estacionario, ¿es necesariamente estacionario?

Encontré una prueba para una de las propiedades del modelo ARCH que dice que si , entonces es estacionario iff donde el modelo ARCH es:{ X t } ∑ p i = 1 b i < $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

La idea principal de la prueba es mostrar que se puede escribir como un proceso AR (p) y si es verdadero, entonces todas las raíces del polinomio característico se encuentran fuera de la unidad círculo y por lo tanto es estacionario. Luego dice que por lo tanto es estacionario. ¿Cómo sigue esto?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

De la sección dada, entiendo cómo puede ver que la estacionariedad de implica la estacionariedad de X t, pero en realidad solo implica una variación constante de X t .$X^2_t$$X_t$ $X_t$

Los autores de esa prueba estaban usando la estacionariedad de para completar un argumento que habían comenzado antes al observar momentos incondicionales de X $X^2_t$$X_t$

Recordemos los condiciones orden de estacionariedad:$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ h ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

La condición 1 fue probada por $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

La condición 3 fue probada por $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

Pero para probar la segunda condición, necesitaban probar una varianza incondicional constante de $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

Esto es lo que lleva a una suposición de estacionariedad de que usted ha mencionado utiliza su forma A R ( p ) . En resumen: V a r ( X t ) = E ( V a r ( X t ) | F t - 1 ) + V a r ( E ( X t | F t - 1 ) ) = E ( $X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ $\Sigma b_i<1$ $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$