¿Por qué la suma de las autocorrelaciones de muestra de una serie estacionaria es igual a -1/2?

No puedo entender esta propiedad de series estacionarias y la función de autocorrelación. Tengo que demostrar que

\begin{aligned} \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = - \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{h=1}^{n-1}\hat\rho(h)=-\frac{1}{2} \end{align}$

Dónde $\hat\rho(h)=\displaystyle\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}$ y $\hat\gamma(h)$ es la función de autocovarianza

\begin{aligned} \hat{γ} (h) = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat\gamma(h) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X}) \end{align}$

Espero que alguien pueda ayudarme con una prueba, o al menos señalarme en la dirección correcta.

time-series autocorrelation stationarity

— Ernesto
fuente

Sugerencia: restando una constante de todos los

X_{t}

$X_t$ , que no cambiará ninguno de los

\hat{γ} (h)

$\hat\gamma(h)$ , puedes asumir

0 = \sum_{t = 1}^{n} X_{t}

$0=\sum_{t=1}^nX_t$ . Ajusta eso y busca piezas que coincidan con tus dos sumas.

— whuber

Gracias por la respuesta. Entiendo que restar una constante no afecta a ninguno de los

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$ , pero no veo por qué me permite suponer que la suma de la serie es igual a 0.

— Ernesto

Resta exactamente la constante que hace

\sum X_{t}

$\sum X_t$ igual a 0. Ahora tu

\hat{γ}

$\hat\gamma$ se simplifica (porque el nuevo

X_{t}

$X_t$ tienen una media de 0) y los términos son mucho más fáciles de jugar (pero sin pérdida de generalidad).

— Glen_b -Reinstalar Monica

Parece que debería ser

1 / (n - h)

$1/(n-h)$ más bien que

1 / n

$1/n$

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Creo que ambas versiones son estimadores válidos de la función de autocovarianza con las mismas propiedades asintóticas, pero leí en alguna parte que

1 / n

$1/n$ se prefiere. (La razón es que la matriz

\hat{γ} (i - j)

$\hat{\gamma}(i-j)$ es positivo semi-definido, no soy matemático, ¡así que no puedo explicar esta razón!)

— Ernesto

Comencemos por representar la suma $S$ utilizando la definición de la función de autocorrelación:

S = \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = \sum_{h = 1}^{n - 1} (\frac{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}})

$\begin{equation} S = \sum_{h=1}^{n-1} \hat{\rho}(h) = \sum_{h=1}^{n-1} \left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(X_t-\bar{X})^2}\right) \end{equation}$

Denominador no depende de $h$ para que podamos simplificar y mover el frente $\sum$ al numerador, que nos da:

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}}

$\begin{equation} S = \frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h} (X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t-\bar{X})^2} \end{equation}$

Ahora considere el denominador. ¿Cómo representamos para obtener una expresión similar al numerador? Conjunto $Y_t=X_t-\bar{X}$ . Entonces $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0.$ El denominador aquí es $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2}$ . Lo sabemos $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ , es decir, restar todos los pares únicos $\times$ 2. Porque $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0$ , resulta que $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ .

Conectándose de nuevo en términos de X, el denominador se convierte en $- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})$ . Then,

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{- 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})} = - \frac{1}{2}

$\begin{equation} S=\frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}= -\frac{1}{2} \end{equation}$

Hope this helps!

— Dilly Minch
fuente

Thank very much, I'll accept this answer in a moment, I just have one final question. Everything is clear to me except this part:

\sum_{t = 1}^{n} Y_{t}^{2} = {(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})}^{2} - 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} Y_{t} Y_{t + h}

$\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ . I don't understand how we are able to include the double summation here, I assume it is a property or identity of the summation?

— Ernesto

To see this, try to expand

(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})^{2}

$(\sum_{t=1}^n Y_t)^2$ . You get the sum of

Y_{t}^{2}

$Y_t^2$ , then the rest of the terms are of type

Y_{i} Y_{j}

$Y_iY_j$ for

i \neq j

$i\neq j$ , each of which occurs twice in the expansion due to symmetry. Now, the double summation comes from enumerating these pairs in the following way: For

Y_{1}

$Y_1$ , we count

Y_{2}, Y_{3}

$Y_2, Y_3$ , etc. For

Y_{2}

$Y_2$ , we count

Y_{3}, Y_{4}

$Y_3,Y_4$ etc., until we reach

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$ for the final pair

Y_{n - 1} Y_{n}

$Y_{n-1}Y_n$ .

— Dilly Minch