Errores distribuidos normalmente y el teorema del límite central

En la Econometría introductoria de Wooldridge hay una cita:

El argumento que justifica la distribución normal de los errores por lo general es algo como esto: porque es la suma de muchos factores diferentes que afectan no observadas , podemos invocar el teorema del límite central a la conclusión de que tiene una distribución aproximadamente normal.$u$$y$$u$

Esta cita se relaciona con uno de los supuestos del modelo lineal, a saber:

$u \sim N(μ, σ^2)$

donde $u$ es el término de error en el modelo de población.

Ahora, hasta donde yo sé, el Teorema del límite central establece que la distribución de

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(donde $\overline{Y_i}$ son promedios de muestras aleatorias tomadas de cualquier población con media $μ$ y varianza $σ^2$ )

se aproxima al de una variable normal estándar como $n \rightarrow \infty$ .

Pregunta:

Ayúdame a entender cómo la normalidad asintótica de $Z_i$ implica $u \sim N(μ, σ^2)$

Esto puede apreciarse mejor expresando el resultado de CLT en términos de sumas de variables aleatorias iid. Tenemos

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

Multiplique el cociente por y use el hecho de que para obtener$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Ahora agregue al LHS y use el hecho de que para obtener$\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Por último, multiplique por y use los dos resultados anteriores para ver que$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

¿Y qué tiene esto que ver con la declaración de Wooldridge? Bueno, si el error es la suma de muchas variables aleatorias iid, entonces se distribuirá aproximadamente de manera normal, como se acaba de ver. ¡Pero hay un problema aquí, a saber, que los factores no observados no necesariamente se distribuirán de manera idéntica y podrían incluso no ser independientes!

Sin embargo, el CLT se ha extendido con éxito a variables aleatorias independientes no idénticamente distribuidas e incluso a casos de dependencia leve, bajo algunas condiciones de regularidad adicionales. Estas son esencialmente condiciones que garantizan que ningún término en la suma ejerza una influencia desproporcionada en la distribución asintótica, consulte también la página de Wikipedia en el CLT . No necesita saber estos resultados, por supuesto; El objetivo de Wooldridge es simplemente proporcionar intuición.

Espero que esto ayude.