¿Cómo puedo calcular ?


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Supongamos que es una muestra aleatoria de una función de distribución continua . Deje que sea ​​independiente de los 's. ¿Cómo puedo calcular ?Y1,,Yn+1FXUniform{1,,n}YiE[i=1XI{YiYn+1}]


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Esto se parece a la expectativa condicional de una variable aleatoria , dado que . Lo que es ? ¿O intentabas escribir una función de indicador? ¿Como ? IYiYn+1II{YiYn+1}
GoF_Logistic

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Si es una función indicadora, simplemente use la linealidad de la expectativa. I
Łukasz Grad

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¿Qué significan esas barras verticales en " "? Esta no es una notación convencional para una función de indicador, lo que genera dudas sobre lo que esta pregunta está planteando. IYiYn+1
whuber

Tal vez el OP solo pretendía usar la primera barra vertical. Eso podría significar que está destinado a significar condicionamiento.
Michael R. Chernick

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@Zen Creo que es posible que haya entendido mal: las ediciones de alguien (¿su?) Habían solucionado el problema de notación, ¡no las habían creado! Con la reversión, la extraña notación ha regresado.
whuber

Respuestas:


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Aquí hay una respuesta alternativa a @Lucas 'usando la ley de expectativas iteradas:

E[i=1X1(YiYn+1)]=E[E[i=1X1(YiYn+1)|X]]=E[i=1XE[1(YiYn+1)|X]]=E[i=1XE[1(YiYn+1)]]=E[i=1XE[E[1(YiYn+1)|Yn+1]]]=E[i=1XE[F(Yn+1)]]=E[X]E[F(Yn+1)]=n+12E[F(Yn+1)]

El tercer paso se deriva de la independencia de e de ; el cuarto paso es nuevamente una aplicación de la ley de expectativas iterativas; El último paso es simplemente una aplicación de la fórmula para la expectativa de una variable aleatoria uniforme discreta.YiYn+1X

Al invertir el orden de integración, derivamos la expectativa restante:

E[F(Yn+1)]=F(y)dF(y)=ydF(x)dF(y)=xdF(y)dF(x)=(1F(x))dF(x)=1E[F(Yn+1)]

lo que implica . Por lo tanto:E[F(Yn+1)]=12

E[i=1X1(YiYn+1)]=n+14

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Por simetría distribucional, , para cada . Como es continuo, tenemos Por lo tanto, . Ahora, tenemos Pr{YiYn+1}=Pr{Yn+1Yi}i=1,,nF

Pr{YiYn+1}=1Pr{Yn+1<Yi}=1Pr{Yn+1Yi}.
E[I{YiYn+1}]=Pr{YiYn+1}=1/2
E[i=1XI{YiYn+1}|X=x]=E[i=1xI{YiYn+1}|X=x]=i=1xE[I{YiYn+1}|X=x]
=yo=1Xmi[yo{YyoYnorte+1}]=X2,
en el cual utilizamos la linealidad de la expectativa condicional y la independencia de y 's. Por lo tanto, XYyo
mi[yo=1Xyo{YyoYnorte+1}]=mi[mi[yo=1Xyo{YyoYnorte+1}El |X]]=mi[X2]=norte+14 4.

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Tenemos

mi[yo=1Xyo[YyoYnorte+1]]=mi[yo=1norteyo[yoX]yo[YyoYnorte+1]]=yo=1nortemi[yo[yoX]yo[YyoYnorte+1]]=yo=1nortemi[yo[yoX]]mi[yo[YyoYnorte+1]]=yo=1norteyonortemi[yo[YyoYnorte+1]]=yo=1norteyonortemi[F(Ynorte+1)]]=yo=1norteyonorte12=norte+14 4

El segundo paso se deriva de la linealidad de las expectativas, el tercer paso de la independencia de e , y el quinto paso del hecho de que Para probar el sexto paso, puede usar la integración parcial . Para el paso final, usa la fórmula para sumas parciales .XY1,...,Ynorte+1

F(y)=PAGS(Yy)=mi[yo[Yy]].

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¿De dónde viene tu ? Mientras , eso siempre será cierto, por lo tanto, puede fijar el resultado final en el valor que desee. nortenorte>norte-1
Daneel Olivaw

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Si quiere decir: Estoy de acuerdo con la respuesta. norte=norte
Daneel Olivaw
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