La media armónica minimiza la suma de los errores relativos al cuadrado

Estoy buscando una referencia donde se pruebe que la media armónica

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

minimiza (en ) la suma de los errores relativos al cuadrado $z$

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
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Respuestas:

¿Por qué necesitas una referencia? Este es un problema de cálculo simple: para que el problema, tal como lo ha formulado, tenga sentido, debemos suponer que todo . Luego defina la función $x_i > 0$ Luego calcule la derivada con respecto a:

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

luego resolver la ecuación

da la solución. Ahora, por supuesto, debemos comprobar que esto es realmente un mínimo, para eso calcular la segunda derivada:

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

para la última desigualdad que utilizamos, finalmente, que todo

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$ . ¡Sin esa suposición, podríamos arriesgarnos de haber encontrado un máximo!

En cuanto a una referencia, tal vez https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean o https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean o referencias allí.

— kjetil b halvorsen
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Gracias por tu respuesta. Una referencia me ahorraría algo de espacio. Quiero citar el resultado como un Lema en otras pruebas sin tener que incluir una prueba independiente del Lema.

— Martin Van der Linden

¡Es difícil encontrar una referencia explícita, se considera básico para merecer una! ¿No puedes decir que la prueba es un ejercicio de cálculo básico?

— kjetil b halvorsen

Tan básico como es, siempre prefiero proporcionar una referencia. Pero entiendo que es difícil encontrar una referencia para los resultados básicos, y dejar la prueba al lector es claramente una opción.

— Martin Van der Linden

Ping temporal fuera de tema: considere votar por el sinónimo spearman- > spearman-rho aquí stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synomains . Gracias

— ameba dice Reinstate Monica

$1/x_i$ .

$\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

I have renamed " $x_i$ " as " $y_i$ " (the "response") and the parameter to be estimated is $\beta$ instead of $z$ . The weights are $\omega_i=1/x_i$ . It is necessary that they all exceed $0$ . The solution is

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED.

Comments

The same analysis applies to any positive sets of weights, providing a generalization of the harmonic mean and a useful way to characterize it.
When, as in a controlled experiment, the $x_i$ are viewed as fixed (and not random), the machinery of weighted least squares provides confidence intervals and prediction intervals, etc. In other words, casting the problem into this setting automatically gives you a way to assess the precision of the harmonic mean.
Viewing the harmonic mean as the solution to a weighted problem provides insight into its nature and, especially, to its sensitivity to the data. It is now clear that the most important contributors are those with the smallest values of $x_i$ --and their importance has been quantified by the weights matrix $W$ .

Reference

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck, and G. Geoffrey Vining, Introduction to Linear Regression Analysis. Fifth Edition. J. Wiley, 2012. Section 5.5.2.

— whuber
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