¿Cómo encontrar la probabilidad de domingos adicionales en un año bisiesto?

¿Cuál es la posibilidad de que un año bisiesto tenga 53 domingos?

Según mi versión de prueba, ¿será 2/7? Dado que 366 días en un año bisiesto significa 52 semanas y 2 días más, por lo que de los dos días adicionales, la probabilidad del domingo es de 2/7.

PD: Esta fue una pregunta que encontré en un libro de estadísticas básicas.

probability self-study

— Manali Chatterjee
fuente

1. Usted dice "año no bisiesto" en su primer párrafo, pero su segundo párrafo discute claramente los años bisiestos (que tienen 366 días, lo que contradice el primer párrafo). Por favor aclara tu pregunta. (También debe aclarar cómo surge esta pregunta; ¿está relacionada con el trabajo del curso, por ejemplo? Si no, ¿cómo surge?)

— Glen_b -Reinstale a Monica

2. La ocurrencia de los domingos no es un proceso aleatorio. Cualquier año dado tendrá un número exacto de domingos invariable que se conoce antes de observar el año. Para que la pregunta tenga sentido como una pregunta de probabilidad, necesitaría plantear una selección aleatoria de años (de la que no hace mención), pero para llegar a cualquier parte, tendríamos que entender cómo se seleccionan los años y a partir de qué población nocional (el calendario actual solo ha sido de unos pocos cientos de años; el número real de años en eso con 53 domingos probablemente no es del todo 2/7. Nuevamente, por favor aclare la naturaleza de su pregunta.

— Glen_b -Reinstale a Monica

Hola, glen_b, gracias por identificar mi error al escribir. Sí, la pregunta es solo para los años bisiestos. También he editado la pregunta

— Manali Chatterjee

Gracias por responder a mi punto 1. He agregado la self-studyetiqueta: vea los comentarios en el centro de ayuda sobre problemas de rutina de los libros (discutidos en la tarea allí, pero se aplica a cualquier problema de libros de texto como este). Hay una aclaración adicional realmente necesaria en relación con el punto 2 (en relación con la población supuesta y el modelo de muestreo), aunque si cita directamente la pregunta original, la aclaración requerida podría cambiar a un supuesto necesario para una respuesta.

— Glen_b -Reinstala a Monica

Respuestas:

El calendario gregoriano favorece a cinco de los siete días de la semana durante los años bisiestos. Por lo tanto, la posibilidad no es precisamente . $2/7$

Este fue esencialmente el problema B3 en la competencia de matemáticas de Putnam de 1950 :

$n$ se elige al azar de los números naturales. Demuestre que la probabilidad de que el 25 de diciembre en el año sea un miércoles no es 1/7. $n$

En el calendario gregoriano , los años que son múltiplos de son años bisiestos (con días), pero los años que son múltiplos de no son años bisiestos (y por lo tanto tienen días), con la excepción de que los años que son múltiplos de son años bisiestos. (Muchos de nosotros recordamos la excepción más reciente en ). Esto crea un ciclo de años que contiene años bisiestos. $4$ $7\times 52 + 2=366$ $100$ $7\times 52+1=365$ $400$ $2000$ $400$ $400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$

Lo que es especialmente interesante es que el número total de días en este ciclo es un múltiplo entero de siete:

400 \times (7 \times 52 + 1) + 97 \times 1 \equiv 400 + 97 \equiv 71 \times 7 \equiv 0 \mod 7.

$400 \times (7\times 52 + 1) + 97 \times 1 \equiv 400+97 \equiv 71 \times 7 \equiv 0 \operatorname{mod} 7.$

Esto muestra que el ciclo de años comprende un número entero de semanas. En consecuencia, el patrón de días de la semana es exactamente el mismo de un ciclo a otro. $400$

Por lo tanto, podemos interpretar la pregunta como la posibilidad de domingos al tomar muestras de manera aleatoria y uniforme de cualquier ciclo de años bisiestos. Un cálculo de la fuerza bruta (usando, por ejemplo, el hecho de que el 1 de enero de 2001 era un lunes) muestra que de los años bisiestos en cada ciclo tienen domingos. Por lo tanto, la posibilidad es $53$ $400$ $28$ $97$ $53$

Pr (53 Sundays) = \frac{28}{97} .

$\Pr(53\text{ Sundays}) = \frac{28}{97}.$

Tenga en cuenta que esto no es igual a : es ligeramente mayor. Por cierto, existe la misma probabilidad de miércoles, viernes, sábados o lunes y solo una probabilidad de de martes o jueves. $28/98 = 2/7$ $53$ $27/97$ $53$

Para aquellos que desean hacer cálculos más detallados (y pueden desconfiar de cualquier simplificación matemática), aquí hay un código de fuerza bruta que computa y examina todos los días de la semana durante un conjunto de años. Al final muestra el número de años con apariciones de cada día de la semana. Está escrito en . $53$ R

Aquí está su salida para el ciclo : $2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28

Aquí está el código en sí.

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

— whuber
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En mi opinión, esto muestra exactamente el tipo de atención que se requiere para darle sentido a la pregunta. Sin una población definida y un proceso aleatorio de selección de años a partir de ella, ni siquiera tiene sentido hablar de probabilidad en relación con la cantidad de domingos en un año; Creo que el "2/7" (que el autor de la pregunta supuestamente quería) no es fácilmente defendible como respuesta: tan pronto como lo intentas, para que funcione, todo tipo de problemas se hacen evidentes y uno tiene que calzar un zapato restricción artificial en el período considerado que no está en la pregunta.

— Glen_b: reinstala a Monica

Sí, tu razonamiento es correcto. A la larga, los años bisiestos tienen casi la misma probabilidad de comenzar cualquier día de la semana. Entonces, la posibilidad de los 2 días adicionales, incluido un domingo, es de aproximadamente 2/7.

w huber señala que una peculiaridad del calendario gregoriano hace que el día de inicio de un año bisiesto no se distribuya de manera uniforme, por lo que la probabilidad real de 53 domingos es 1% más o menos que 2/7. Sin embargo, 2/7 es casi seguramente la respuesta que los autores de su libro de texto de estadísticas pretendían que encontrara.

— Gordon Smyth
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Para ser correcto, esta respuesta requiere algunas suposiciones muy específicas: ¿exactamente qué rango de años tiene en mente? Para la mayoría de los rangos, no será la respuesta correcta.

2 / 7

$2/7$

— whuber

@w huber No tengo dudas de que 2/7 es la respuesta que pretendían los autores del libro de texto de donde proviene la pregunta. El refinamiento en su respuesta es correcto e interesante pero, diría, no ayuda al OP a aprender estadísticas básicas.

— Gordon Smyth

Estoy de acuerdo con la mayoría de eso, especialmente con no ayudar a aprender estadísticas, pero esa crítica debe ser dirigida al libro de texto, no a la solución a su ejercicio. Lo que podría ser de especial interés aquí es ilustrar el proceso de análisis de una pregunta, incluso una pregunta de libro de texto, y mostrar que a veces la respuesta intuitiva "obvia" no es del todo correcta. Sorpresas como esta nos enseñan mucho. Además, a veces se derivan grandes consecuencias de pequeñas diferencias. (Estoy trabajando en un caso en el que una diferencia de este tamaño cambia un reclamo legal por un millón de dólares.)

— whuber

No hay críticas intencionadas. Personalmente, estoy contento con la pregunta del libro de texto y con su excelente e inesperada solución.

— Gordon Smyth