Hamilton muestra que esta es una representación correcta en el libro, pero el enfoque puede parecer un poco contradictorio. Permítanme, por lo tanto, primero dar una respuesta de alto nivel que motive su elección de modelo y luego elaborar un poco sobre su derivación.
La motivación :
Como debería quedar claro al leer el Capítulo 13, hay muchas formas de escribir un modelo dinámico en forma de espacio de estados. Por lo tanto, debemos preguntarnos por qué Hamilton eligió esta representación particular. La razón es que esta representación mantiene baja la dimensionalidad del vector de estado. Intuitivamente, pensarías (o al menos lo haría) que el vector de estado para un ARMA ( , ) debe ser al menos de dimensión . Después de todo, solo observando digamos , no podemos inferir el valor de . Sin embargo, muestra que podemos definir la representación del espacio de estados de una manera inteligente que deja el vector de dimensión de estado como máximopqp+qyt−1ϵt−1r=max{p,q+1}. Supongo que mantener baja la dimensionalidad del estado puede ser importante para la implementación computacional. Resulta que su representación en el espacio de estado también ofrece una buena interpretación de un proceso ARMA: el estado no observado es un AR ( ), mientras que la parte MA ( ) surge debido a un error de medición.pq
Derivación :
Ahora para la derivación. Primero tenga en cuenta que, usando la notación de operador de retraso, el ARMA (p, q) se define como:
donde dejamos para , y para y omitimos ya que es al menos . Entonces, todo lo que tenemos que mostrar es que su estado y las ecuaciones de observación implican la ecuación anterior. Deje que el vector de estado sea
Ahora mire el ecuación de estado Puedes comprobar que las ecuaciones a
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ϵt
ϕj=0j>pθj=0j>qθrrq+1ξt={ξ1,t,ξ2,t,…,ξr,t}⊤
2rsimplemente mueva las entradas a un período más adelante y descarte en el vector de estado en . La primera ecuación, que define es, por lo tanto, la relevante. :
Dado que el segundo elemento de es el primer elemento de y el tercer elemento de es el primer elemento de
ξi,tξi−1,t+1ξr,tt+1ξi,t+1ξ1,t+1=ϕ1ξ1,t+ϕ2ξ2,t+…+ϕrξr,t+ϵt+1
ξtξt−1ξtξt−2y así sucesivamente, podemos reescribir esto, usando la notación de operador de retraso y moviendo el polinomio de retraso al lado izquierdo (ecuación 13.1.24 en H.):
Entonces el estado oculto sigue un proceso autorregresivo. De manera similar, la ecuación de observación es
o
Esto no se parece mucho a un ARMA hasta ahora, pero ahora viene el buena parte: multiplique la última ecuación por :
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)ξ1,t+1=ϵt+1
yt=μ+ξ1,t+θ1ξ2,t+…+θr−1ξr−1,t
yt−μ=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ξ1,t
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)(1−ϕ1L−…−ϕrLr)yt
¡Pero de la ecuación de estado (rezagada por un período), tenemos ! Entonces, lo anterior es equivalente a
que es exactamente lo que necesitábamos mostrar! Entonces el sistema de observación de estado representa correctamente el ARMA (p, q). Realmente solo estaba parafraseando a Hamilton, pero espero que esto sea útil de todos modos.
(1−ϕ1L−…−ϕrLr)ξ1,t=ϵt(1−ϕ1L−…−ϕrLr)(yt−μ)=(1+θ1L+…+θr−1Lr−1)ϵt