Términos de error del modelo de promedio móvil

17

Esta es una pregunta básica sobre los modelos MA de Box-Jenkins. Según entiendo, un modelo MA es básicamente una regresión lineal de series de tiempo los valores de $Y$ contra términos de error anterior $e_t,..., e_{t-n}$ . Es decir, la observación $Y$ es retrocedido primero contra sus valores anteriores $Y_{t-1}, ..., Y_{t-n}$ y luego una o más $Y - \hat{Y}$ valores se utilizan como los términos de error para el modelo de MA.

Pero, ¿cómo se calculan los términos de error en un modelo ARIMA (0, 0, 2)? Si el modelo MA se usa sin una parte autorregresiva y, por lo tanto, sin valor estimado, ¿cómo puedo tener un término de error?

— Robert Kubrick
fuente

1

No, creo que está confundiendo la definición de un modelo MA (n), donde la regresión es solo en términos de

e_{t - i}

$e_{t-i}$ 's, con su estimación, donde los

e_{t - i}

$e_{t-i}$ ' s se estiman a partir de los datos .

— Xi'an

1

El principal problema en su pregunta es que usted dice que el modelo MA es básicamente una regresión lineal. Esto simplemente no es cierto, ya que no observamos términos de error.

— mpiktas

Creo que el término de error es en realidad

Y_{t} - \hat{Y_{t}}

$Y_t - \hat{Y_t}$ , donde

es

o, simplemente,

. Es por eso que una estimación del parámetro del modelo MA se deriva de un patrón recurrente en la función de autocorrelación parcial

, que es el comportamiento de los residuos. La estimación del parámetro AR, en cambio, se basa en un patrón recurrente de acf (Y).

\hat{Y}

$\hat{Y}$

E (Y | Y_{t, . . ., t - n})

$E(Y|Y_{t,...,t-n})$

Y_{t} - Y_{t - 1}

$Y_t - Y_{t-1}$

Y

$Y$

— Robert Kubrick

20

Estimación del modelo MA:

Supongamos una serie con 100 puntos de tiempo, y digamos que se caracteriza por el modelo MA (1) sin intercepción. Entonces el modelo viene dado por

y_{t} = ε_{t} - θ ε_{t - 1}, t = 1, 2, \dots, 100 (1)

$y_t=\varepsilon_t-\theta\varepsilon_{t-1},\quad t=1,2,\cdots,100\quad (1)$

El término de error aquí no se observa. Entonces, para obtener esto, Box et al. El análisis de series temporales: pronóstico y control (3a edición) , página 228 , sugiere que el término de error se calcula de forma recursiva por,

ε_{t} = y_{t} + θ ε_{t - 1}

$\varepsilon_t=y_t+\theta\varepsilon_{t-1}$

Entonces, el término de error para es, Ahora no podemos calcular esto sin conocer el valor de . Entonces, para obtener esto, debemos calcular la estimación inicial o preliminar del modelo, consulte Box et al. de dicho libro, la Sección 6.3.2 página 202 establece que, $t=1$

ε_{1} = y_{1} + θ ε_{0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+\theta\varepsilon_{0}$

θ

$\theta$

Se ha demostrado que las primeras autocorrelaciones del proceso MA ( ) no son cero y se pueden escribir en términos de los parámetros del modelo como $q$ $q$ La expresión anterior para en términos de , proporciona ecuaciones en incógnitas. Las estimaciones preliminares de s pueden obtenerse sustituyendo las estimaciones por en la ecuación anterior
$ρ_{k} = \frac{- θ_{k} + θ_{1} θ_{k + 1} + θ_{2} θ_{k + 2} + \dots + θ_{q - k} θ_{q}}{1 + θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2} + \dots + θ_{q}^{2}} k = 1, 2, \dots, q$ $\rho_k=\displaystyle\frac{-\theta_{k}+\theta_1\theta_{k+1}+\theta_2\theta_{k+2}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}\quad k=1,2,\cdots, q$ $\rho_1,\rho_2\cdots,\rho_q$ $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$ $q$ $q$ $\theta$ $r_k$ $\rho_k$

Tenga en cuenta que es la autocorrelación estimada. Hay más discusión en la Sección 6.3 - Estimaciones iniciales para los parámetros , lea sobre eso. Ahora, suponiendo que obtengamos la estimación inicial . Entonces, Ahora, otro problema es que no tenemos valor para porque comienza en 1, por lo que no podemos calcular . Afortunadamente, hay dos métodos para obtener esto: $r_k$ $\theta=0.5$

ε_{1} = y_{1} + 0.5 ε_{0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+0.5\varepsilon_{0}$

ε_{0}

$\varepsilon_0$

t

$t$

ε_{1}

$\varepsilon_1$

Probabilidad condicional
Probabilidad incondicional

De acuerdo con Box et al. Sección 7.1.3 página 227 , los valores de se pueden sustituir a cero como una aproximación si es moderado o grande, este método es de probabilidad condicional. De lo contrario, se utiliza la probabilidad incondicional, en la que el valor de se obtiene mediante predicción inversa, Box et al. Recomiendo este método. Lea más sobre el pronóstico atrasado en la Sección 7.1.4, página 231 . $\varepsilon_0$ $n$ $\varepsilon_0$

Después de obtener las estimaciones iniciales y el valor de , finalmente podemos proceder con el cálculo recursivo del término de error. Luego, la etapa final es estimar el parámetro del modelo , recuerde que esta ya no es la estimación preliminar. $\varepsilon_0$ $(1)$

Al estimar el parámetro , utilizo el procedimiento de estimación no lineal, particularmente el algoritmo de Levenberg-Marquardt, ya que los modelos MA no son lineales en su parámetro. $\theta$

En general, le recomendaría encarecidamente que lea Box et al. Análisis de series temporales: previsión y control (3ª edición) .

— Al-Ahmadgaid Asaad
fuente

¿Puedes explicar qué es

?

r_{k}

$r_k$

— Piyush Divyanakar

4

Un modelo gaussiano de MA (q) se define (¡no solo por Box y Jenkins!) Como por lo que el modelo MA (q) es un modelo de error "puro", el grado define qué tan lejos retrocede la correlación.

Y_{t} = - \sum_{i = 1}^{q} ϑ_{i} e_{t - i} + σ e_{t}, e_{t} \overset{iid}{\sim} N (0, 1)

$Y_t = -\sum_{i=1}^q \vartheta_i e_{t-i} + \sigma e_t,\quad e_t\stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$

q

$q$

— Xi'an
fuente

1

Todavía no tengo claro de dónde viene

. ¿Es

una variable aleatoria? No lo creo, de lo contrario, ¿por qué molestarse en buscar correlaciones

?

e_{t}

$e_t$

e_{t}

$e_t$

q

$q$

— Robert Kubrick

1

¿Por qué hay un menos en tu fórmula? Por lo general, el signo negativo es para los modelos AR. Matemáticamente no es un problema, solo tengo curiosidad, ya que nunca he visto menos en los modelos MA.

— mpiktas

3

@RobertKubrick, ¿conoces el teorema de descomposición de Wold ? Cada proceso estacionario tiene su correspondiente proceso de innovación, es decir, de donde provienen los términos

.

e_{t}

$e_t$

— mpiktas

1

Y

$Y$

E (Y)

$E(Y)$

1

$Y$ $Y_{t−1},...,Y_{t−n}$ $Y−\hat{Y}$ $Y$ $e_{t-1}$ $e_{t−2}$ $e_t$ $\theta_1$ $e_{t-1}$ $\theta_2$ $e_{t-2}$ $e_t$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

— IrishStat
fuente

¿Cuáles son las otras 2 series de predictores? Pregunto porque cuando miro la literatura que tengo, nunca se especifica claramente. ¿Estas otras 2 series no están relacionadas con

Y

$Y$ ? Tuve la impresión de que toda la formulación de ARIMA se limita al

Y

$Y$ serie.

— Robert Kubrick

1

Los 2 predictores son los retrasos de los términos de error. Dado que estos no se conocen a priori, ya que no conocemos los términos de error antes de comenzar, es por eso que esto debe tratarse mediante una estimación no lineal. La confusión que tiene es que un modelo es finito en el pasado (es decir, un AR MODELO) es potencialmente infinito en los errores Y un modelo que es finito en los errores (es decir, un MODELO MA) es potencialmente infinito en el pasado de Y. La razón por la que uno selecciona un MODELO AR versus un MODELO MA es para parsimonia. A veces construimos un MODELO ARMA que combina tanto la historia de Y como la historia de los errores.

— IrishStat

1

Como comenté en la otra respuesta, lo que aún me falta es cuál es el pronóstico óptimo para

Y

$Y$ , que se utiliza para calcular la innovación

e_{t - n}

$e_{t-n}$ .

— Robert Kubrick

1

Vea mi publicación aquí para obtener una explicación de cómo entender los términos de perturbación en una serie de MA.

Necesita diferentes técnicas de estimación para estimarlas. Esto se debe a que primero no puede obtener los residuos de una regresión lineal y luego incluir los valores residuales rezagados como variables explicativas porque el proceso de MA usa los residuos de la regresión actual. En su ejemplo, está haciendo dos ecuaciones de regresión y está utilizando residuos de una a la otra. Esto no es lo que es un proceso de MA. No se puede estimar con OLS.

— JoeDanger
fuente