Para dar una evaluación ingenua de la situación:
en general: suponga que tiene dos funciones diferentes del sistema de base , así como para alguna función (hilbert-) espacio, L_2 habitual , es decir, el espacio de todas las funciones integrables al cuadrado.{pn}∞n=1{p~}∞n=1L2([a,b])
Esto significa que cada una de las dos bases puede usarse para explicar cada elemento de , es decir, para que tiene para algunos coeficientes y , (en el -sense):
L2([a,b])y∈L2([a,b])θnθ~n∈Rn=1,2,…L2
∑n=1∞θ~np~n=y=∑n=1∞θnpn.
Sin embargo, por otro lado, si trunca ambos conjuntos de funciones básicas en algún número , es decir, toma
así como estos conjuntos truncados de funciones básicas son muy probablemente dos describen "partes diferentes" de .{ p n } k n = 1 { ˜ p } k n = 1 , L 2 ( [ a , b ] )k<∞
{pn}kn=1
{p~}kn=1,
L2([a,b])
Sin embargo, aquí en el caso especial donde una base, , es solo una ortogonalización de la otra base, , la predicción general de será la misma para cada modelo truncado ( y su contraparte ortogonalizada describirá el mismo subespacio dimensional de ). { p n } ∞ n = 1 y { p } k n = 1 k L 2 ( [ a , b ] ){p~}∞n=1{pn}∞n=1y{p}kn=1kL2([a,b])
Pero cada función de base individual de las dos bases "diferentes" producirá una contribución diferente a esta predisposición (obviamente, ¡ya que las funciones / predictores son diferentes!) Dando como resultado diferentes valores y coeficientes .p
Por lo tanto, en términos de predicción no hay (en este caso) ninguna diferencia.
Desde el punto de vista computacional, una matriz modelo que consiste en funciones de base ortogonal tiene buenas propiedades numéricas / computacionales para el estimador de mínimos cuadrados. Si bien al mismo tiempo desde el punto de vista estadístico, la ortogonalización da como resultado estimaciones no correlacionadas, ya que bajo los supuestos estándar.var(θ~^)=Iσ²
La pregunta natural surge si existe un mejor sistema de base truncada. Sin embargo, la respuesta a la pregunta no es simple ni única y depende, por ejemplo, de la definición de la palabra "mejor", es decir, lo que está tratando de archivar.