¿Cuál es el nombre de la distribución con una densidad de probabilidad como

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Perdone mi ignorancia, ¿cuál es el nombre de la distribución con una densidad de probabilidad como esta? o más generalmente o donde es una constante de normalización.

pags (X) \propto \frac{1}{1 + {mi}^{X}}, X > 0 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + e^x},\quad x > 0\,,$

pags (X) \propto \frac{1}{1 + α {mi}^{β X}}, X > 0 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

pags (X) = η \frac{1}{1 + α {mi}^{β X}}, X > 0 0,

$p(x) = \eta \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

η

$\eta$

probability distributions

— gwding
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Esto es idéntico a una distribución común en física llamada distribución de Fermi-Dirac, que describe una situación llamada estadística de Fermi-Dirac . En un entorno determinado en física, el número promedio de partículas con una energía $\epsilon$ es

{\bar{norte}}_{ϵ} = \frac{1}{{mi}^{(ϵ - μ) / / k T} + 1}

$\bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$ dónde

μ

$\mu$ ,

k

$k$ y

T

$T$ son parámetros físicos que probablemente no sean tan importantes para usted (el potencial químico, la constante de Boltzmann y la temperatura). Es trivial reinterpretar esto como función de densidad de probabilidad para la energía de una partícula.

— jwimberley
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¡Gracias! ya que también tengo un

α

$\alpha$ parámetro que puedo ajustar, ¿lo hace ya que debería llamarlo "distribución FD extendida / generalizada / modificada"? ¿O tiene alguna sugerencia sobre este tipo de convención de nomenclatura?

— gwding

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@gwding Su parámetro alfa corresponde al parámetro "potencial químico" en la distribución FD:

α = \exp (- μ / k T)

$\alpha = \exp(-\mu/kT)$ . Puede darse el caso de que obtenga más información sobre la naturaleza de la distribución utilizando algo más cercano a la forma física, con

\exp (β (x - x_{0}))

$\exp(\beta(x-x_0))$ en el denominador Casualmente

1 / k T

$1/kT$ a menudo se denota

β

$\beta$ en física, ¡entonces su convención de nomenclatura para ese parámetro es la misma!

— jwimberley

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La constante de normalización para el primero debe ser $\frac{1}{\ln(2)}$ (No es que realmente importe para la presente pregunta).

No estoy al tanto de tener un nombre. El primero (sin el $\log(2)$ constante de normalización) es la función sobreviviente para una distribución logística truncada, pero no he visto que se use para una función de densidad (aunque espero que probablemente haya sido nombrada varias veces ... ese es a menudo el caso con formas funcionales simples que son no en un uso muy amplio, donde las personas "reinventan" tales cosas sin encontrar ideas previas, que a menudo se encuentran en diferentes áreas de aplicación *).

Si intentara nombrarlo, entonces, debido a la forma funcional de tipo logístico, probablemente querría exprimir la palabra "logístico" en alguna parte, pero la dificultad sería elegir un nombre que lo distinguiera lo suficiente del densidad logística

* y la respuesta de jwimberly ofrece una de esas áreas de aplicación. El nombre " Distribución de Fermi-Dirac " parece una opción perfectamente razonable si no tiene un nombre en el área de aplicación en la que está trabajando.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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Una densidad que se integra a la unidad sobre $[0,\infty]$ sería

F_{X} (X) = \frac{θ}{En 2} \frac{1}{1 + {mi}^{θ X}}, θ > 0 0

$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$

Los momentos crudos están dados por

mi (X^{k}) = \frac{(1 - 2^{- k})}{En 2} \frac{1}{θ^{k}} \cdot Γ (k + 1) \cdot ζ (k + 1)

$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$

dónde $\Gamma()$ es la función Gamma y $\zeta()$ es la función zeta de Riemann. Entonces

mi (X) = \frac{π^{2}}{12 \cdot En 2} θ^{- 1} \approx 1.1866 \cdot θ^{- 1}

$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$

mi (X^{2}) \approx \frac{7.212}{4 4 \cdot En 2} θ^{- 2} \approx 2.601 \cdot θ^{- 2}

$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2}$

llevando a

Var (X) \approx 1.193 \cdot θ^{- 2}

$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$

Los cálculos numéricos los verifican.

— Alecos Papadopoulos
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¿Cómo responde esto a la pregunta?

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Tiendo a tener una visión más amplia de "cuál es la pregunta". Vea esta publicación, meta.stats.stackexchange.com/q/2158/28746 , donde adelanto mi argumento y ofrezco también algunos datos cv para respaldarlo. Además, ofrecer la expresión de momento para una distribución que no se ha estudiado, es útil para cualquier persona interesada en usar la distribución.

— Alecos Papadopoulos

Estoy de acuerdo con sus conclusiones en el meta que mencionó, "Los momentos de este PDF son X" no es una respuesta más amplia a la pregunta "¿Cómo se llama este PDF?". La distribución también se ha estudiado antes, como se refieren otras respuestas.

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Como ya escribí, mi principal preocupación y criterio es si la información relevante y útil debe estar presente en este hilo, y lo es. La conexión con la distribución de Fermi-Dirac se ha observado en las otras respuestas, pero no vi una expresión explícita para los momentos crudos. Es un fenómeno habitual que las respuestas en CV no sean competitivas sino complementarias, y cada una de ellas proporciona un poco de información / conocimiento útil.

— Alecos Papadopoulos