Regresión logística para datos de distribuciones de Poisson

De algunas notas de aprendizaje automático que hablan sobre algunos métodos de clasificación discriminativos, en particular la regresión logística, donde y es la etiqueta de clase (0 o 1) y x son los datos, se dice que:

si , y , entonces será logístico.$x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$$x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$$p(y|x)$

¿Por qué es esto cierto?

$Y$ tiene dos valores posibles para cualquier valor dado de . De acuerdo con los supuestos,$X$

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

y

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

Por lo tanto (este es un caso trivial del Teorema de Bayes) la probabilidad de que condicional en es la probabilidad relativa de este último, es decir$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

dónde

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

y

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

De hecho, ese es el modelo estándar de regresión logística.