Una empresa de electrónica produce dispositivos que funcionan correctamente el 95% del tiempo.

Una empresa de electrónica produce dispositivos que funcionan correctamente el 95% del tiempo. Los nuevos dispositivos se envían en cajas de 400. La compañía quiere garantizar que funcionen k o más dispositivos por caja. ¿Cuál es la k más grande para que al menos el 95% de las cajas cumplan con la garantía?

Intento: Sé que debería usar el Teorema del límite central para este problema, pero no estoy seguro de qué N debería estar en la configuración ya que hay 400 dispositivos en cada cuadro y se desconoce el número de cuadros. ¿Alguien podría darme una pista sobre la configuración? ¡Gracias!

Debe suponer que los dispositivos en cualquier casilla son independientes. Cuando ese es el caso, el número de dispositivos en funcionamiento en cualquier cuadro debe seguir una distribución binomial. Los parámetros son (la cantidad de dispositivos en la caja) y (la tasa de trabajo).$400$$.95$

Suponga que garantiza o más dispositivos por caja de trabajo. Está diciendo que al menos el 95% de todos estos cuadros contienen o más dispositivos de trabajo. En el lenguaje de las variables y distribuciones aleatorias, usted afirma que la probabilidad de que una variable Binomial iguale o supere es al menos . La solución se encuentra calculando el percentil = quinto de esta distribución. La única parte delicada es que, dado que se trata de una distribución discreta, debemos tener cuidado de no ser uno en nuestra respuesta.$k$$k$$(400, 0.95)$$k$$95\%$$100-95$

Rnos dice que el quinto percentil es :$k=373$

qbinom(.05, 400, .95)

373

Verifiquemos calculando la posibilidad de igualar o exceder este valor:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9520076

(Algo contradictorio, al menos para mí, es que el lower.tail=FALSEargumento de Rla pbinomfunción de 's no incluye el valor de su argumento. Por lo tanto, pbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)calcula la posibilidad asociada con un resultado estrictamente mayor que k).

Como doble verificación, confirmemos que no podemos garantizar ni siquiera un valor mayor:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9273511

Por lo tanto, el umbral de cae entre estas dos probabilidades sucesivas.$0.95$

En otras palabras, hemos encontrado que

A la larga, el de las cajas contendrán o más dispositivos de trabajo, pero solo el de ellos contendrá o más dispositivos de trabajo. Por lo tanto, no deberíamos garantizar más de si queremos que el o más de las cajas cumplan con este estándar.$95.2\%$$k=373$$92.7\%$$374$$373$$95\%$

Por cierto, una distribución normal resulta ser una excelente aproximación para esta pregunta en particular. (En lugar de mostrar la respuesta que obtendría, le dejaré que haga el cálculo, ya que solicitó información solo sobre cómo configurar el problema).

Este gráfico compara la función de distribución binomial con su probabilidad normal aproximada.

Los dos no están perfectamente de acuerdo, pero cerca de están muy cerca.$k=373$

"Al menos" de "al menos 95%" significa "min".

Código:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Resultados:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Cuando miro esto, veo que el valor mínimo para la tasa es del 89%. Esto significa que en medio millón de intentos, el peor de los casos fue el 89% de trabajo.

El 89% de 400 es 356. Esto da aproximadamente el 100%, no el 95%. Es probable que el 100% real sea más bajo que esto.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

rendimientos:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93.25% de 400 es 373. Esto no es un borde de los datos, sino interior, por lo que es probable que sea una buena estimación. Su respuesta va a estar cerca de 373.