Si entiendo correctamente, su análisis es:
- Calcule el número esperado de lanzamientos de monedas necesarios para obtener una cabeza.
- Calcule el pago del resultado donde obtiene exactamente el número esperado.
- Valorar el juego igual a ese pago.
... OK, modifiquemos ese juego un poco. Al igual que la versión original, lanzaré una moneda y seguiré lanzando hasta que tire las cabezas. Solo los pagos han cambiado:
- Si me vuelvo loco en el segundo lanzamiento, obtienes cuatro dólares.
- En cualquier otro resultado, pierdes todo lo que tienes y tienes que venir a trabajar para mí para siempre, gratis.
¿Cuántas monedas esperamos lanzar antes de obtener una cabeza? 2, exactamente lo mismo que antes.
¿Cuál es el pago por el resultado cuando lanzamos dos monedas para obtener una cabeza? $ 4.00, exactamente lo mismo que antes.
¿Cuánto estarías dispuesto a pagar por el 'privilegio' de pagar este juego que tiene un 75% de posibilidades de llevarte a la bancarrota y un 25% de posibilidades de devolver $ 4,00?
Sospecho que la respuesta no es "hasta cuatro dólares, exactamente lo mismo que antes". Lo que significa que hay un agujero en tu lógica.
Desde una perspectiva más amplia, las ganancias esperadas no son necesariamente información suficiente para responder a este tipo de preguntas; generalmente depende de algún contexto adicional. ¿Es esta una oportunidad única o espera que se le ofrezca esta apuesta muchas veces? ¿Cuánto dinero tienes a mano? ¿Y cuánto dinero necesitas para ser feliz?
Por ejemplo, si mi riqueza total es de $ 100 pero necesito urgentemente un millón de dólares para una operación que me salve la vida, estaría dispuesto a pagar todo mi dinero por una sola oportunidad en la apuesta de San Petersburgo. Solo me da una probabilidad de 1/2 ^ 19 de ganar el dinero que necesito, pero si no juego no tengo ninguna posibilidad.
Por otro lado, si mi riqueza total es de $ 1000,000 y necesito exactamente un millón de dólares para esa operación, lo máximo que estaría dispuesto a pagar por un solo juego son dos dólares (que estoy garantizado para recuperar) . Algo más, y tengo 1/2 oportunidad de terminar por debajo del millón de dólares que necesito para salvar mi vida.
Si espero tener muchas oportunidades de jugar tales juegos, entonces probablemente quiera elegir una estrategia que me brinde una alta probabilidad de tener mucho dinero al final de todos esos juegos. Por ejemplo:
El juego A está garantizado para aumentar mi riqueza en un 10% cada vez que lo juego. (Ganador esperado: + 10% de mi riqueza actual.) El juego B tiene un 90% de posibilidades de duplicar mi riqueza y un 10% de posibilidades de llevarme a la bancarrota. (Ganador esperado: + 70% de mi riqueza actual.) [Editar: en realidad + 80% porque fallo en la aritmética básica, pero el argumento sigue vigente].
Si juego 100 iteraciones del Juego A, estoy seguro de multiplicar mi riqueza por 13.780 veces.
Si juego 100 iteraciones del Juego B, tengo un 0.0027% de posibilidades de volverme inimaginablemente rico (aproximadamente 10 ^ 30 x con lo que comencé) ... y un 99.73% de posibilidades de quebrar. Aunque el promedio es mejor que para el Juego A, no es una buena opción.
Para este tipo de juego muy iterado, en lugar de tratar de maximizar mis ganancias esperadas en cada juego, es mejor tratar de maximizar el valor esperado de ln (riqueza total después del juego / riqueza total antes del juego). Esto asegura un crecimiento a largo plazo sin ser eliminado.
Si las apuestas para cada juego son pequeñas en relación con mi riqueza total, entonces esto es aproximadamente equivalente a maximizar las ganancias esperadas en cada juego.
Entonces, si estás jugando muchos juegos y nunca arriesgas una gran parte de tu riqueza actual, entonces el valor esperado de la apuesta te dice todo lo que necesitas saber. En casi cualquier otra situación, también debe pensar en otras cosas.