¿Es Si es así, ¿cómo probarlo?

¿ ? Además, ¿qué pasa con Estoy confundido por las relaciones. Parece intuitivamente ser el caso. Si es correcto, ¿cómo lo pruebo matemáticamente? He buscado en este sitio y en otros lugares ... $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$ $E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

conditional-expectation

— KUZ
fuente

¿Es esta una pregunta de un curso o libro de texto? Si es así, agregue la [self-study]etiqueta y lea su wiki .

— gung - Restablece a Monica

No, esto no es de un curso o libro de texto. Solo trato de entender por mí mismo.

— KUZ

Esas dos expectativas condicionales difieren en general:
$E [E (X | Y) | Z] \neq E [X | Y, Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

De hecho, estrictamente hablando, ni siquiera viven en el mismo espacio funcional que el primero es una función de , wrt medible , el álgebra inducida por , mientras que el segundo es una función de , por lo tanto, medible wrt , el álgebra inducida por , $Z$ $\sigma(Z)$ $\sigma$ $Z$ $(Y,Z)$ $\sigma(Y,Z)$ $\sigma$ $(Y,Z)$

Como contraejemplo, considere la configuración cuando

$X$ e son independientes $Y$
$X$ y son dependientes, con $Z$ $\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Entonces, debido a la independencia entre e , y, por lo tanto, $X$ $Y$ $\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$

E [E (X | Y) | Z] = E [X] \neq E [X | Y, Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[X]\ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

En cambio, una igualdad válida es que se aplica a todas las relaciones de dependencia entre las tres variables aleatorias.

E [E (X | Y, Z) | Z] = E [X | Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y,Z)|Z]=\mathbb{E}[X|Z]$

Notaciones: La diferencia entre las notaciones y es eso $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ es una variable aleatoria, transformada de la variable aleatoria (y no de la variable aleatoria ya que Y también está condicionada por ); $Z$ $Y$ $Y$ $Z$
$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ es una función de aparentemente tanto como , pero en realidad solo de (como se explica a continuación) que no tiene un significado claro Un punto de vista probabilístico . De hecho, para un valor dado , es una constante para la cual tener una expectativa condicional condicional en la realización tiene poco sentido ya que también devuelve . Por ejemplo, si depende de y como una variable aleatoria, para una realización dada de $y$ $z$ $y$ $y$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $Z=z$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $X$ $Y$ $X$ $y$ $Y$ y de , es una constante que generalmente difiere de y de . Pero no es una realización de la variable aleatoria . La realización correcta es $Z$ $z$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $\mathbb{E}(X)$ $\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$

— Xi'an
fuente

Gracias por este comentario, Xi'an. No estoy claro acerca de su respuesta en una cosa: en su contraejemplo, si X e Y son independientes (por lo tanto, ) y si X y Z son dependientes, entonces, ¿por qué ?

E (X | Y) = E [X]

$\mathbb{E}(X|Y)= \mathbb{E}[X]$

E [E (X | Y) | Z] = E [E (X) | Z] = E [X]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[\mathbb{E}(X)|Z]= \mathbb{E}[X]$

— KUZ

..porque es una constante ...

E [X]

$\mathbb{E}[X]$

— Xi'an