¿Valor esperado de la razón de variables aleatorias correlacionadas?

Para las variables aleatorias independientes y , ¿existe una expresión de forma cerrada para $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

en términos de los valores esperados y las variaciones de y ? Si no, ¿hay un límite inferior bueno en esa expectativa? $\alpha$ $\beta$

Actualización: también puedo mencionar que y . Puedo controlar la variación en y , y tengo en mente una configuración en la que las variaciones de y son bastante pequeñas en relación con . Tal vez sus dos desviaciones estándar son menores a 0.3. $\mathbb E[\alpha] = 1$ $\mathbb E[\beta] = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\mathbb E[\alpha]$

— Jeff
fuente

Probablemente no. ¿Tiene formas explícitas para ?

α, β

$\alpha,\beta$

— Alex R.

Lamentablemente no. Solo tengo medios y límites superiores en sus variaciones. ¿Alguna idea sobre un límite inferior analítico sobre la expectativa? Siempre está entre 0 y 1. Pensé en hacer algo con la desigualdad de Chebyshev, pero me preguntaba si había una mejor manera.

— Jeff

¿Conoces la distribución conjunta de y ? P.ej. Multivariante normal?

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Matthew Gunn el

No, no puedo asumir que son multivariantes normales. Solo tengo que son independientes. Espero que cada uno sea más o menos normal, pero no puedo confiar en eso. Necesito un verdadero límite inferior. Gracias por preguntar!

— Jeff

Pensé en un límite inferior, aunque no creo que sea muy ajustado. Solo elijo un valor arbitrario menor que la media de y otro valor arbitrario alrededor de la media de . Como la expectativa es de una variable aleatoria no negativa, y porque y son independientes, $\alpha$ $\beta^2$ $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Por la desigualdad de Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Por la desigualdad de Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Por lo tanto,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

¿Es una forma más estándar / sistemática de hacer lo que estoy haciendo aquí, que tiene un límite más ajustado?

— Jeff
fuente

No creo este límite inferior de . Como contraejemplo, supongamos que toma el valor con probabilidad y con probabilidad , por lo que su media es . Deje que sea esencialmente cero (en comparación con ). Entonces toma el valor con probabilidad y con probabilidad , haciendo que su expectativa sea . Elegir muestra que la expectativa está limitada solo por

0.28

$0.28$

α

$\alpha$

(1 + p) / (1 - p)

$(1+p)/(1-p)$

1 - p

$1-p$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

β

$\beta$

| α |

$|\alpha|$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}}

$\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

1 - p

$1-p$

1 - 2 p

$1-2p$

p \approx 1

$p\approx 1$

- 1

$-1$ , y este es el mejor límite inferior posible.

— whuber

@whuber - Como va a 1, ¿la varianza de en su contraejemplo no llega al infinito? Pero en la pregunta, la varianza de ambos y está limitada por . Perdón por no escribir eso más claramente en la pregunta.

p

$p$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

β

$\beta$

0.3

$0.3$

— Jeff

Noté un defecto en mi respuesta: asumí pero eso está mal. Más bien , como se observa. Me pregunto si la respuesta puede ser reparada.

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq 0

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge 0$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq - 1

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge -1$

— Jeff

Puede lograr un infimum de cuando la varianza de es . Haga esto haciendo idénticamente cero y dejando que tome dos valores: uno es infinitesimal pero negativo, con probabilidad ; el otro valor es .

- σ^{2} (2 + σ^{2})

$-\sigma^2(2+\sigma^2)$

α

$\alpha$

σ^{2}

$\sigma^2$

β

$\beta$

α

$\alpha$

(1 + σ^{2}) / (2 + σ^{2})

$(1+\sigma^2)/(2+\sigma^2)$

2 + σ^{2}

$2+\sigma^2$

— whuber

Creo que eso resuelve mi problema. Thabks mucho. ¿Lo publicaría como respuesta para que pueda aceptarlo?

— Jeff