Distribuciones sobre listas ordenadas

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Digamos que tenemos una lista ordenada de artículos

[a, b, c, ... x, y, z, ...]

Estoy buscando una familia de distribuciones con soporte en la lista anterior gobernada por algún parámetro alfa para que:

Para alfa = 0, asigna la probabilidad 1 al primer elemento, a arriba, y 0 al resto. Es decir, si tomamos muestras de esta lista, con reemplazo, siempre obtenemos a.
A medida que aumenta alfa, asignamos probabilidades cada vez más altas al resto de la lista, respetando el orden de la lista, después de la disminución exponencial.
Cuando alfa = 1, asignamos la misma probabilidad a todos los elementos de la lista, por lo que el muestreo de la lista es similar a ignorar su orden.

Esto es muy similar a la distribución geométrica, pero hay algunas diferencias notables:

La distribución de distribución geométrica se define sobre todos los números naturales. En mi caso anterior, la lista tiene un tamaño fijo.
La distribución geométrica no está definida para alfa = 0.

distributions sampling discrete-data

— Amelio Vazquez-Reina
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Parece que describe una familia de distribuciones geométricas truncadas. Sin embargo, hay infinitas familias que se comportan cualitativamente como su descripción. Más al punto, entonces, sería explicar para qué te gustaría usar una familia así.

— whuber

Gracias @whuber Sí, entiendo que hay infinitas distribuciones que se ajustan a esta descripción. ¿Alguno específico que se te ocurra? Tengo un sistema que actualmente selecciona el primer elemento de esta lista (que representa los puntajes), pero quiero aleatorizar esta elección (y parametrizar esta aleatorización). No estoy buscando un tipo particular de "descomposición" basado en alfa. Siempre que alpha = 0 no represente aleatorización, es decir, elija el primer elemento, 1 representa "elija cualquier elemento" y alphas entre 0 y 1 representan "algo intermedio" entre estos dos alphas, sería lo suficientemente bueno.

— Amelio Vazquez-Reina

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$r_i$ $i$ $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ $n$ $i$

p_{i} = \frac{α^{r_{i}}}{\sum_{k = 1}^{n} α^{r_{k}}}

$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$

$\alpha=0$ $0^0 = 1$ $\alpha < 1$ $\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$ $\alpha=1$ $n$

$\alpha=1$ $\alpha\rightarrow 0$

$\alpha=0.5$

p_{0} \approx 0.5005 p_{1} \approx 0.2502 p_{2} \approx 0.1251 p_{3} \approx 0.0626 p_{4} \approx 0.0313 p_{5} \approx 0.0156 p_{6} \approx 0.0078 p_{7} \approx 0.0039 p_{8} \approx 0.0020 p_{9} \approx 0.0010

$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$

$\alpha$

— josliber
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Agradable. Esto es mucho más inteligente de lo que podría esperar ser.

— Matthew Drury el

@Matthew Estas son las distribuciones geométricas truncadas a las que me referí anteriormente.

— whuber

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Trataré de construir un ejemplo a partir de los primeros principios.

Tomemos tres distribuciones como nuestros bloques de construcción:

P es la distribución que asigna probabilidad uno al primer elemento de la lista, cero a todos los demás.
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $1$
U es la distribución uniforme sobre la lista.

Ahora queremos tomar una familia de un parámetro de combinaciones convexas positivas de estas distribuciones

α (t) P + β (t) E + γ (t) U

$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$

$\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$ $t \in [0, 1]$ $\alpha(0) = 1$ $\gamma(1) = 1$

$(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$ $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ $t \in (0, 1)$

Aquí hay una opción para la curva:

(1 - t (1 - t)) (1 - t, 0, t) + t (1 - t) (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$

$(1-t, 0, t)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$ $t \in (0, 1)$

— Matthew Drury
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