Encontrar el MLE para un proceso de Hawkes exponencial univariante

El proceso exponencial univariante de Hawkes es un proceso de puntos autoexcitante con una tasa de llegada de eventos de:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

donde son las horas de llegada del evento.$t_1,..t_n$

La función de probabilidad de registro es

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

que se puede calcular de forma recursiva:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

¿Qué métodos numéricos puedo usar para encontrar el MLE? ¿Cuál es el método práctico más simple de implementar?

El algoritmo simplex Nelder-Mead parece funcionar bien. Está implementado en Java por la biblioteca matemática Apache Commons en https://commons.apache.org/math/ . También he escrito un artículo sobre los procesos de Hawkes en Modelos de proceso puntuales para datos multivariados de alta frecuencia con espacios irregulares .

Felix, el uso de transformaciones exp / log parece garantizar la positividad de los parámetros. En cuanto a la pequeña cosa alfa, busque en arxiv.org un artículo llamado "teoremas de límites para procesos de Hawkes casi inestables"

Resolví este problema usando la biblioteca nlopt . Encontré que varios métodos convergieron bastante rápido.

También podrías hacer una maximización simple. En R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)