¿Todas las series no estacionarias se pueden convertir en una serie estacionaria mediante diferenciación?

¿Se pueden convertir todas las series temporales no estacionarias en series temporales estacionarias mediante la aplicación de diferenciación? Además, ¿cómo decide el orden de la diferencia que se aplicará?

¿Simplemente diferencia con los intervalos 1,2 ... ny realiza la prueba de raíz unitaria de estacionario cada vez para ver si la serie resultante es estacionaria?

time-series stationarity

— Víctor
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Respuestas:

No. Como contraejemplo, que sea cualquier variable aleatoria y que las series de tiempo tengan el valor en el tiempo . La diferencia en el tiempo es una combinación lineal $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

$w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— whuber
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Entonces, dada una serie temporal (lineal), ¿cómo saber si alguna vez puede diferenciarse para formar una serie estacionaria?

— Victor

Explique qué quiere decir con una serie temporal "lineal". En general, el proceso de ajustar un modelo AR equivale a estimar la cantidad de diferenciación necesaria para que la serie sea estacionaria.

— whuber

Gracias ... déjame pensar en eso. No sé cuánto no sé

— Victor

Esto parece ser una consecuencia del hecho de que la función exponencial es su propia derivada, y eso inmediatamente me sugiere que una serie de tiempo puede hacerse estacionaria por diferenciación repetida si y solo si la función "verdadera" que modela es un polinomio ( o, equivalentemente, su expansión de la serie Taylor es finita).

— zwol

@zwol Esa es una buena idea, y es por eso que el contraejemplo exponencial fue el primero en venir a mi mente, pero es solo una parte de la historia. Si la expectativa es una función polinómica del tiempo, entonces una diferenciación suficiente hará que las series temporales sean de primer orden estacionarias : es decir, los primeros momentos de las distribuciones serán invariables con el tiempo. Sin embargo, la diferenciación no necesariamente hará que los momentos más altos o los momentos multivariados sean estacionarios.

— whuber

La respuesta de whuber es correcta; Hay muchas series de tiempo que no pueden hacerse estacionarias por diferenciación. A pesar de que esto responde a su pregunta en un sentido estricto, también vale la pena señalar que dentro de la amplia clase de modelos ARIMA con ruido blanco, la diferenciación puede convertirlos en modelos ARMA, y estos últimos son (asintóticamente) estacionarios cuando las raíces restantes de El polinomio característico autorregresivo está dentro del círculo unitario. Si especifica una distribución inicial adecuada para la serie observable que es igual a la distribución estacionaria, obtendrá un proceso de serie temporal estrictamente estacionario .

Por lo tanto, como regla general, no, no todas las series temporales son convertibles en series estacionarias por diferenciación. Sin embargo, si restringe su alcance a la amplia clase de modelos de series temporales en la clase ARIMA con ruido blanco y distribución inicial adecuadamente especificada (y otras raíces AR dentro del círculo unitario), entonces sí, se puede usar la diferenciación para obtener estacionariedad.

— Ben - Restablece a Monica
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+1 Posiblemente, para algunas (¿muchas?) Aplicaciones, esta es una respuesta más útil que la puramente teórica que ofrecí.

— whuber

Sí, creo que a veces es una cuestión de "Aquí está la respuesta a su pregunta, y ahora aquí está la respuesta a una pregunta diferente que también debería haber hecho".

— Ben - Restablece a Mónica el