¿Por qué los cambios en el registro natural son cambios porcentuales? ¿Qué pasa con los registros que hacen que esto sea así?

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¿Alguien puede explicar cómo las propiedades de los registros lo hacen para que pueda hacer regresiones lineales de registro donde los coeficientes se interpretan como cambios porcentuales?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
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l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , y es 1 más el cambio porcentual.

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

Al diferenciar la ecuación en relación con X1, creo que nos encamina a responder mejor la pregunta que al considerar las expresiones en serie.

— Charles

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Para y cercanas, el cambio porcentual aproxima a la diferencia de . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

¿Por qué el cambio porcentual se aproxima a la diferencia logarítmica?

Una idea del cálculo es que puedes aproximar una función suave con una línea. La aproximación lineal es simplemente los dos primeros términos de una serie de Taylor . El primer orden de Taylor Expansion de alrededor de viene dado por: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$

El lado derecho se simplifica a tanto:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

Entonces, para en la vecindad de 1, podemos aproximar con la línea A continuación se muestra un gráfico de e . $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

Ejemplo: . $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Ahora considere dos variables y tales que . Entonces la diferencia de registro es aproximadamente el cambio porcentual : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

¡El cambio porcentual es una aproximación lineal de la diferencia logarítmica!

¿Por qué registrar diferencias?

Muchas veces, cuando está pensando en términos de cambios de porcentaje compuesto, el concepto matemáticamente más limpio es pensar en términos de diferencias de registro. Cuando multiplica varios términos juntos, a menudo es más conveniente trabajar en registros y, en su lugar, agregar términos juntos.

Digamos que nuestra riqueza en el momento viene dada por: Entonces podría ser más conveniente escribir: donde . $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

¿Dónde están los cambios porcentuales y la diferencia de registro NO es la misma?

Para grandes cambios porcentuales, la diferencia logarítmica no es lo mismo que el cambio porcentual porque aproximar la curva con la línea empeora y empeora cuanto más se aleja de . Por ejemplo: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

¿Cuál es la diferencia de registro en este caso?

Una forma de pensarlo es que una diferencia en los registros de .47 es equivalente a una acumulación de 47 diferencias de registro .01 diferentes, que es aproximadamente 47 1% de los cambios combinados.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

Luego exponga ambos lados para obtener:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

Una diferencia logarítmica de .47 es aproximadamente equivalente a 47 diferentes incrementos de 1% compuestos, o incluso mejor, 470 diferentes .1% aumenta todos los compuestos, etc.

Varias de las respuestas aquí hacen que esta idea sea más explícita.

— Matthew Gunn
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+1, con la esperanza de que la continuación planificada de esta respuesta discuta las condiciones en las que la aproximación se rompe.

— whuber

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+1. Para agregar un punto menor, 1.6 a 1 es una disminución del 37.5%, 1 a 1.6 es un aumento del 60%, la diferencia logarítmica 0.47 es independiente de la dirección del cambio, y siempre entre 0.375 y 0.6. Cuando no sabemos o no nos importa la dirección del cambio, la diferencia logarítmica podría ser una alternativa de tomar promedios de los dos cambios porcentuales, incluso cuando el cambio porcentual es grande.

— Paul

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Aquí hay una versión para tontos ...

Tenemos el modelo , una línea recta simple a través de la nube de datos, y sabemos que una vez que estimamos los coeficientes, un aumento de en el valor anterior de será resultará en un aumento de en el valor de , de , como . Pero las unidades pueden no tener sentido en valores absolutos. $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Por lo tanto, podemos cambiar el modelo a (coeficientes nuevos). Ahora para el mismo aumento de unidades en , tenemos un cambio $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

Para ver las implicaciones para el cambio en el porcentaje, podemos exponer : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ es el cambio relativo, y desde , el cambio porcentual. $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

La clave para responder la pregunta es ver que para valores pequeños de , lo que equivale al mismo uso de los dos primeros términos de la expansión de Taylor que Matthew usó, pero esta vez de ( serie Maclaurin ) evaluado en cero porque estamos trabajando con exponentes, a diferencia de logaritmos: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

o con como la variable : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

entonces alrededor de cero (evaluamos la expansión polinómica en cero cuando hicimos la serie Taylor). Visualmente, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— Antoni Parellada
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su respuesta es bastante clara: necesitamos coeficientes pequeños para poder interpretar la diferencia logarítmica como cambio porcentual, pero la respuesta de @aksakal muestra que solo necesitamos pequeños cambios (es decir lim Δx --> 0). ¿Puedes explicar cómo los dos son equivalentes?

— towi_parallelism

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Digamos que tiene un modelo Tome una derivada de un registro:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

Ahora puede ver que la pendiente es ahora una pendiente del cambio relativo de : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

Si no tuviera la transformación logarítmica, obtendría una pendiente de cambio absoluto de : $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

No reemplacé con para enfatizar que esto funciona para pequeños cambios. $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Aksakal
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Hay muchas explicaciones excelentes en las respuestas actuales, pero aquí hay otra enmarcada en términos de análisis financiero de la acumulación de intereses en una inversión inicial. Suponga que tiene una cantidad inicial de una unidad que devenga intereses a una tasa (nominal) por año , con intereses "compuestos" durante períodos en el año. Al final de un año, el valor de esa inversión inicial de una unidad es: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

Cuanto más a menudo este interés se "capitalice", más dinero obtendrá de su inversión inicial (ya que la capitalización significa que está obteniendo intereses sobre su interés). Tomando el límite como obtenemos "interés compuesto continuo", que da: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

Tomar logaritmos de ambos lados da , lo que significa que el logaritmo de la relación entre la inversión final y la inversión inicial es la tasa de interés de capitalización continua. A partir de este resultado, vemos que las diferencias logarítmicas en los resultados de series temporales se pueden interpretar como tasas de cambio de composición continua . (Esta interpretación también está justificada por la respuesta de aksakal , pero el presente trabajo le brinda otra forma de verlo). $r = \ln I(\infty)$

— Reinstalar a Mónica
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