¿Qué es la convergencia de Epsilon en probabilidad?

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Entiendo que la fórmula para la probabilidad de convergencia es y puedo resolver problemas usando la fórmula. ¿Alguien puede explicarlo intuitivamente (como si tuviera cinco años), particularmente en lo que respecta a ? $P[|X_n − X_\infty| \gt \epsilon ]\to 0$ $\epsilon$

probability convergence intuition

— bdempe
fuente

Estudiamos en noveno grado en la clase de análisis en la escuela secundaria. Fue una de las cosas más difíciles de entender para mí. No creo que puedas explicarlo normal 5 años

ε

$\varepsilon$

— Aksakal

No literalmente para un niño de cinco años ... Tan claro como sea posible

— bdempe

Yo, por mi parte, no entiendo esto en el contexto de los límites. le permitiría a uno elegir un sin importar cuán pequeña sea la diferencia es menor que eso convergería, pero no lo haría. Entonces, alguien por favor explique.

P [| X_{n} - X_{\infty} | < ϵ] \to 0

$P[|X_n − X_\infty| < \epsilon ]\to 0$

ϵ

$\epsilon$

P [| X_{n} - X_{\infty} |

$P[|X_n − X_\infty|$

P [| X_{n} - X_{\infty} | > ϵ]

$P[|X_n − X_\infty| > \epsilon ]$

— Carl

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Como estamos hablando de convergencia, específicamente, en este caso, convergiendo a , queremos mostrar que acerca realmente, realmente, muy cerca de medida que hace más y más grande. $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $X_\infty$ $n$

Piense en como cualquier número positivo realmente pequeño; digamos que piensas que es lo suficientemente bueno. Luego, para mostrar que está muy, muy, muy cerca de , queremos mostrar que cae dentro para suficientemente grande . (Suficientemente grande solo significa que hay algo de tal que por cada , está dentro de más o menos de con probabilidad 1.) $\varepsilon$ $\varepsilon = 0.01$ $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $(X_\infty-0.01,X_\infty+0.01)$ $n$ $n$ $n'$ $n > n'$ $X_n$ $0.01$ $X_\infty$

Pero digamos que no estoy convencido de que converja a porque simplemente me parece demasiado grande. Entonces, en cambio, deje . Entonces estoy convencido de que converge a (o que está muy, muy, muy cerca de ) si podemos demostrar que, para suficientemente grande , cae dentro . $X_n$ $X_\infty$ $\varepsilon=0.01$ $\varepsilon = 0.0001$ $X_n$ $X_\infty$ $X_n$ $X_\infty$ $n$ $X_n$ $(X_\infty-0.0001,X_\infty+0.0001)$

Supongamos que tiene muchos amigos que eligen para ser cada vez más pequeños. La idea detrás de la convergencia es que para cualquier , no importa cuán pequeño sea , mostrar que cae dentro de para suficientemente grande demuestra que converge a . $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$ $X_n$ $X_\infty\pm\varepsilon$ $n$ $X_n$ $X_\infty$

En los términos más básicos, es solo un pequeño número positivo. En lo que se refiere a la convergencia, debe poder mostrar que para cualquier (de modo que todos sus amigos infinitos con diferentes valores de estén convencidos), la secuencia que converge, en algún momento, entrará dentro de más o menos del límite al que cree que converge la secuencia. Si no puede demostrar que su secuencia cae dentro de del límite creído para algún , entonces la secuencia no puede converger a ese límite. $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$

— Matt Brems
fuente

¿Podría decir que el más pequeño requeriría una más grande para demostrar que converge?

ϵ

$\epsilon$

n

$n$

— Matt L.

Ese es generalmente el caso, Matt, pero no siempre es cierto. Como ejemplo trivial, digamos que su secuencia es y desea mostrar que esto converge a 2. No importa cuán pequeño sea su , será suficiente para demostrar que converge Sin embargo, es importante señalar que, para demostrar que algo converge dentro de este contexto, debe poder mostrar esto para * all * , sin importar cuán pequeño sea. No es suficiente elegir un y decir que converge. Por ejemplo, considere la secuencia dada por y deje .

{2, 2, 2, . . .}

$\{2,2,2,...\}$

ε

$\varepsilon$

n = 1

$n=1$

ε > 0

$\varepsilon>0$

ε

$\varepsilon$

X_{n} = s i n (n)

$X_n=sin(n)$

ε = 10

$\varepsilon = 10$

— Matt Brems

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Secuencias de variables aleatorias.

La intuición proviene de metáforas. La siguiente metáfora, que modela cantidades aleatorias sacando trozos de papel de un contenedor, captura todos los elementos matemáticos esenciales mientras pasa por alto una condición técnica ("mensurabilidad") necesaria para dar sentido a situaciones con innumerables tickets.

Considere un modelo de tickets-in-a-box de un espacio de muestra : el nombre de cada elemento está escrito en un trozo de papel (un "boleto") que se coloca en la caja. Los elementos con mayor probabilidad se nombran en más tickets. $\Omega$ $\omega\in\Omega$

Una variable aleatoria es una forma consistente de escribir un número en cada boleto. "Consistente" significa que todos los tickets para cualquier particular obtienen el mismo valor de , escrito . $X$ $\omega$ $X$ $X(\omega)$

Por lo tanto, una secuencia de variables aleatorias puede concebirse como una secuencia escritas en cada ticket (de nuevo de manera coherente). $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ $X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots$

$X_\infty$ es otra variable aleatoria, que es un número más escrito en cada ticket.

Eventos y probabilidad.

Deje que sea cualquier número real. Diremos más sobre esto a continuación. $\epsilon$

El evento describe todos los tickets para los que los valores y difieren en o más. Es un subconjunto de los boletos en la caja. Estos tickets forman una proporción del cuadro: esa proporción modela su probabilidad , . $|X_n - X_\infty| \ge \epsilon$ $\omega\in\Omega$ $X_n(\omega)$ $X_\infty(\omega)$ $\epsilon$ $\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)$

Límites.

Cada afirmación sobre un límite es una forma de juego matemático. Cuando escribimos que alguna secuencia tiene un límite , lo que queremos decir es que podemos jugar un juego contra un oponente hipotético (que está haciendo todo lo posible para hacernos perder) y siempre ganaremos . En el juego de límite, tu oponente nombra un número positivo, generalmente uno pequeño, que llamaremos . Usted gana si se puede quitar un finito número de elementos de esa secuencia y demostrar que todos los elementos restantes están a una distancia de . Como en cualquier juego, puedes calibrar tu respuesta al movimiento de tu oponente: los elementos que elimines pueden depender de . $L$ $\delta$ $\delta$ $L$ $\delta$

Límites de probabilidad.

Apliquemos el juego de límite a la afirmación . Debido a que esta afirmación involucra una cantidad no especificada , su oponente también puede especificar su valor. Eso hace que el juego sea lo más difícil posible para que ganes. $\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)\to 0$ $\epsilon$

Entonces, no importa qué valores de y especifique su oponente, su respuesta será tachar un número finito de las variables aleatorias en los tickets. Para cada variable aleatoria restante , deje que los tickets donde difiera de por o más sean los "malos" para . Ganas el juego siempre que las proporciones de tickets malos sean siempre menores que (para todos los que quedan). $\epsilon$ $\delta \gt 0$ $X_i$ $X_n$ $X_n(\omega)$ $X_\infty(\omega)$ $\epsilon$ $n$ $\delta$ $X_n$

Un poco de reflexión revela la sutileza de este juego: las entradas malas para no tienen que tener ninguna relación con las entradas malas para $n$ $m$ (donde y designan cualquiera de las variables aleatorias restantes que no tachaste). En otras palabras, en cualquier boleto dado, los valores pueden rebotar por todo el lugar. El límite de probabilidad es una declaración sobre lo que está escrito en todos los tickets en el cuadro, pero no es una declaración sobre lo que podría estar escrito en un ticket individual. $n$ $m$ $X_n(\omega)$

— whuber
fuente

Tengo cinco años. No tengo ni idea de lo que estás hablando. Me perdiste en "un espacio muestral Ω". Habrías perdido a mis compañeros de clase menos precoces en la primera oración. Gracias por intentarlo.

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@mickeyf De nada. Presté atención al comentario del OP en stats.stackexchange.com/questions/242793/… .

— whuber