Calcular predicciones de efectos aleatorios manualmente para un modelo mixto lineal

Estoy tratando de calcular las predicciones de efectos aleatorios de un modelo mixto lineal a mano, y usando la notación proporcionada por Wood en modelos aditivos generalizados: una introducción con R (pg 294 / pg 307 de pdf), me estoy confundiendo sobre cada parámetro representa.

A continuación se muestra un resumen de Wood.

Definir un modelo mixto lineal.

$$Y = X\beta + Zb + \epsilon$$

donde b $\sim$ N (0, $\psi$ ) y $\epsilon \sim$ N (0, $\sigma^{2}$ )

Si bye son variables aleatorias con distribución normal conjunta

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} b\\ y \end{bmatrix} &\sim N \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ X\beta \end{bmatrix}\!\!,& \begin{bmatrix} \psi & \Sigma_{by} \\ \Sigma_{yb}& \Sigma_{\theta}\sigma^{2} \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ \end{align*}$$

Las predicciones de RE se calculan por

$$\begin{align*} E[b \mid y] &= \Sigma_{by} \Sigma_{yy}^{-1} (y - x\beta)\\ &= \Sigma_{by}\Sigma_{\theta}^{-1}(y - x \beta) / \sigma^{2}\\ &= \psi z^{T}\Sigma_{\theta}^{-1} (y - x \beta) / \sigma^{2} \end{align*}$$

donde $\Sigma_{\theta} = Z\psi Z^{T} /\sigma^{2} + I_{n}$

Usando un ejemplo de modelo de intercepción aleatoria del lme4paquete R obtengo salida

library(lme4)
m = lmer(angle ~ temp + (1 | replicate), data=cake)
summary(m)

% Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
% Formula: angle ~ temp + (1 | replicate)
%    Data: cake
% 
% REML criterion at convergence: 1671.7
% 
% Scaled residuals: 
%      Min       1Q   Median       3Q      Max 
% -2.83605 -0.56741 -0.02306  0.54519  2.95841 
% 
% Random effects:
%  Groups    Name        Variance Std.Dev.
%  replicate (Intercept) 39.19    6.260   
%  Residual              23.51    4.849   
% Number of obs: 270, groups:  replicate, 15
% 
% Fixed effects:
%             Estimate Std. Error t value
% (Intercept)  0.51587    3.82650   0.135
% temp         0.15803    0.01728   9.146
% 
% Correlation of Fixed Effects:
%      (Intr)
% temp -0.903

Así que a partir de esto, creo que = 23.51, ( Y - X β ) puede estimarse a partir y desde la plaza de los residuos a nivel de población.$\psi$$(y-X\beta)$cake$angle - predict(m, re.form=NA)sigma

th = 23.51
zt = getME(m, "Zt") 
res = cake$angle - predict(m, re.form=NA)
sig = sum(res^2) / (length(res)-1)

Multiplicar estos juntos da

th * zt %*% res / sig
         [,1]
1  103.524878
2   94.532914
3   33.934892
4    8.131864
---

que no es correcto en comparación con

> ranef(m)
$replicate
   (Intercept)
1   14.2365633
2   13.0000038
3    4.6666680
4    1.1182799
---

¿Por qué?

Dos problemas (confieso que me tomó como 40 minutos detectar el segundo):

1. $\sigma^2$23.51

   sig <- 23.51

   $\psi$39.19

   psi <- 39.19

2. Los residuos no se obtienen con cake$angle - predict(m, re.form=NA)sino con residuals(m).

Poniendo todo junto:

> psi/sig * zt %*% residuals(m)
15 x 1 Matrix of class "dgeMatrix"
         [,1]
1  14.2388572
2  13.0020985
3   4.6674200
4   1.1184601
5   0.2581062
6  -3.2908537
7  -4.6351567
8  -4.5813846
9  -4.6351567
10 -3.1833095
11 -2.1616392
12 -1.1399689
13 -0.2258429
14 -4.0974355
15 -5.3341942

que es similar al ranef(m).

Realmente no entiendo lo que predictcomputa.

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PD. Para responder a su última observación, el punto es que utilizamos los como una manera de obtener el vector P Y donde P = V - 1 - V - 1 X $\hat\epsilon$$PY$$P = V^{-1} - V^{-1} X \left(X' V^{-1} X\right)^{-1} X' V^{-1}$

$$\hat\epsilon = \sigma^2 PY$$ $$\hat b = \psi Z^t PY.$$

$\hat b = \psi / \sigma^2 Z^t \hat\epsilon$